Wykorzystanie wzoru Eulera w dowodzie

[lukasz_matma]

Witam,
Proszę o pomoc w zadaniu: Udowodnić za pomocą wzoru Eulera poniższy wzór:
\(\displaystyle{ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}\)
Nie wiem za bardzo jak się za to zabrać. Z góry dziękuję za wszelką pomoc i wskazówki w rozwiązaniu tego zadania.
Pozdrawiam!

[Dasio11]

Przypuszczalnie chodzi o rozpisanie prawej strony ze wzorów

\(\displaystyle{ \sin z = -\mathrm i \sinh (\mathrm i z) \\
\cos z = \cosh \mathrm i z}\)

[lukasz_matma]

A umiałbyś mi to choć trochę rozpisać?-- 9 lut 2014, o 00:19 --Znalazłem takie oto rozwiązanie, którego jednak nie rozumiem.
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=Im(e^{i\alpha}+e^{i\beta})=Im(e^{i\alpha/2} \cdot e^{i\beta/2}(e^{i(\alpha - \beta)/2} + e^{-i(\alpha - \beta)/2}))=
Im\left(e^{i(\alpha + \beta)/2}2\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\right)=Im\left( \left(\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot 2 \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\right)=}\)
\(\displaystyle{ 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}\)
Czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć mi skąd po kolei wszystko się wzięło?
Z góry bardzo dziękuję.