Dzielenie wielomianu przez liczbę zespoloną.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
golmann
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 27 sty 2013, o 14:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Taka dziura pod czymś tam

Dzielenie wielomianu przez liczbę zespoloną.

Post autor: golmann »

Mam równanie:

\(\displaystyle{ W(x)= z^{5} + z^{4} - 3z^{3} + 3z^{2} - 18z}\)

Jednym z pierwiastków wielomianów jest:

\(\displaystyle{ z=i \sqrt{3}}\)

Muszę znaleźć wszystkie pierwiastki tego równania. Zadanie niby zrobiłem szukając dzielników,następnie dzieląc i rozbijając to, lecz nie mogę tak zrobić. Muszę to zrobić dzieląc wielomian przez zespoloną, czego ne umię. Pokaże ktoś jak się dzieli

\(\displaystyle{ \frac{z^{5} + z^{4} - 3z^{3} + 3z^{2} - 18z}{i \sqrt{3}}}\)?
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Dzielenie wielomianu przez liczbę zespoloną.

Post autor: rtuszyns »

A może zamiast dzielić, to pomnożyć przez liczbę zespoloną?
Wtedy należałoby pomnożyć przez \(\displaystyle{ -i\frac{\sqrt{3}}{3}}\).
Przy okazji powinno być \(\displaystyle{ W(z)}\) a nie \(\displaystyle{ W(x)}\).

Albo inaczej: Jest twierdzenie, że jeżeli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(z)}\) o współczynnikach rzeczywistych i jego zespolony pierwiastek \(\displaystyle{ z_0}\), to zachodzi
\(\displaystyle{ W(z_0)=0 \Rightarrow W(\overline{z_0})=0}\).
Zatem możemy podzielić wielomian \(\displaystyle{ W(z)}\) przez \(\displaystyle{ (z-z_0)(z-\overline{z_0})}\).
Więc do dzieła...
ODPOWIEDZ