Hej,
mam dwa pytania z zakresu analizy zespolonej.
Po pierwsze, chcę pokazać, że dana funkcja jest 'różnowartościowa' (może ściślej jednokrotna), w każdym razie warunek to:
dla każdych \(\displaystyle{ z_{1},z_{2}}\) mam \(\displaystyle{ z_{1} \neq z_{2} \Rightarrow f(z_{1}) \neq f(z_{2})}\)
Czyli mogę rozumieć, że sprawdzenie, czy funkcja jest różnowartościowa, jest takie, jak dla rzeczywistych, np w moich wypadku:
\(\displaystyle{ w(z)=\sqrt{\frac{z-a}{z-b}}}\)
zakładam że \(\displaystyle{ w(z_{1})=w(z_{2})}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{z_{1}-a}{z_{1}-b}}=\sqrt{\frac{z_{2}-a}{z_{2}-b}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}-a}{z_{1}-b}=\frac{z_{2}-a}{z_{2}-b}}\)
Czyli po rachunkach mam:
\(\displaystyle{ z_{2}a + z_{1}b=z_{1}a + z_{2}b}\),
czyli
\(\displaystyle{ z_{1}=z_{2}}\)
Tak zwyczajnie prosto jak rzeczywiste, tak?
Drugie pytanie jest chyba trudniejsze, jak pokazać (być może to 'oczywiste', ale ja chcę widzieć to), że funkcja postaci:
\(\displaystyle{ \frac{C}{w_{0}+w(z)}+d}\), gdzie
\(\displaystyle{ w(z)=\sqrt{\frac{z-a}{z-b}}}\), a \(\displaystyle{ w_{0}}\) to po prostu wartość funkcji w wybranym \(\displaystyle{ z_{0}}\) w naszej dziedziny,
jest ograniczona.
Potem będziemy brać
\(\displaystyle{ C=\frac{-4w_{0}^{2}}{w'(z_{0})}}\), \(\displaystyle{ d=\frac{2w_{0}}{w'(z_{0})}}\).
bo to jest generalnie fragment dowodu twierdzenia o odwzorowaniu Riemanna, chciałabym zrozumieć tą część, czemu takie funkcje, postaci jak wyżej, muszą być ograniczone.
Dziękuję z góry!