Potęgowanie liczby zespolonej

[mowiazemamproblem]

Witajcie.

Mam problem z poniższym przykładem. Czy jesteście w stanie mi powiedzieć czy jest on poprawnie wykonany, a jeżeli nie, to na jakim etapie popełniłem błąd? Nie jestem pewny z rozkładaniem \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{231}}\) na \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{230} \cdot \sqrt{2}}\) i dalszego rozkładania.
Pomożecie?

\(\displaystyle{ (1-i)^{231}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \partial= \frac{2}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sin \partial = -\frac{2}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ n= \frac{7 \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2}^{231} \right)\left( \cos \left( 231 \cdot \frac{7 \pi }{4} \right) + i\sin \left( 231 \cdot \frac{7 \pi }{4} \right) \right)=\left( \sqrt{2}^{231} \right)\left( \cos \frac{ \pi }{4} +i\sin \frac{ \pi }{4}\right)=\left( \sqrt{2}^{231} \right)\left( \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)= \sqrt{2}^{230} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)= \left( \sqrt{2}^{2}\right)^{215} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)= 2^{115}\left( -1+i\right)=-2 ^{115}+2 ^{115}i}\)

Czy dobrze rozwiązałem ten przykład? Wofphramalfa nie pokazuje niestety wyniku.
Proszę o pomoc i wskazówki.

[waliant]

z tego co patrzę to Wolfram pokazuje \(\displaystyle{ 2 ^{115}+2 ^{115}i}\)

[mowiazemamproblem]

A mógłbyś mi powiedzieć, jaką formułę wpisujesz w Wolframie? Bo moja \(\displaystyle{ \left( 1-i\right)^{231}}\) widocznie nie działa.

[waliant]

działa, zobacz, że część rzeczywista wychodzi z plusem. Pokazuje wyliczoną wartość \(\displaystyle{ 2 ^{115}}\)

[mowiazemamproblem]

Racja, niepotrzebnie wstawiłem minus w końcowej fazie, dzięki. Z tym, że mi naprawdę nie działa: poniżej nigdzie nie ma, a wpisuję poprawnie.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2}^{2}\right)^{215} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)= 2^{115}\left( -1+i\right)}\)

Skąd nagle z dodatniej części rzeczywistej wyszła Ci ujemna?

Bez trygonometrii:    

\(\displaystyle{ (1-i)^{231}=(1-i)((1-i)^2)^{115}=(1-i)(-2i)^{115}=\ldots}\)

[waliant]

Racja, niepotrzebnie wstawiłem minus w końcowej fazie, dzięki. Z tym, że mi naprawdę nie działa: poniżej nigdzie nie ma, a wpisuję poprawnie.

Działa

\(\displaystyle{ 41538374868278621028243970633760768=2 ^{115}}\)

[mowiazemamproblem]

Skąd nagle z dodatniej części rzeczywistej wyszła Ci ujemna?

Robię parę przykładów, pewnie źle spojrzałem.

Działa

Dzięki, o tym nie pomyślałem.

Wielkie dzięki.

e: poprawa cytatu