Pytania przedegzaminacyjne - liczby zespolone

[peku33]

Witam.

Tematu niestety nie mogłem nazwać inaczej - pytań jest kilka, zupełnie różnych.

1. Czy wielomian stopnia 11 o współczynnikach rzeczywistych może mieć 4 różne pierwiastki zespolone?

Zakładam, że tak. Wystarczy, że ma on postać \(\displaystyle{ (x-1)^3(x-2)^3(x-3)^3(x-4)^2}\). Ma 4 pierwiastki zespolone: 1, 2, 3, 4, jest 11 stopnia. Mam rację?

2. Jeśli jedyną wartością własną macierzy jest 0, to jest ona osobliwa.

Zakładam, że tak. Rozumuję, że jej wyznacznik odejmując na przekątnej 0 (czyli to ta sama macierz) jest równy 0 czyli jest osobliwa.

3. Układ jednorodny 7 równań z 9 niewiadomymi może być sprzeczny.

Nie, zawsze wszystkie niewiadome = 0 będą rozwiązaniem.

4. Ile wynosi suma wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: z^20=z^15=1}\)

[chris_f]

1. Odpowiedź tak jest dobra, ale uzasadnienie jest do niczego.
Powinno być np. tak
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x^2+4)(x-3)^7=0}\)
3. Jak najbardziej może być sprzeczny, dla przykładu mniejszy układ, który taki jest
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y+z=3\\
2x+2y+2z=7\\
5x+5y+5z=17\\
3x+3y+3z=1\\
4x+4y+4z=2\end{cases}}\)
Wystarczy przecież, żeby \(\displaystyle{ \mathrm{rz} \, A \neq \mathrm{rz} \, U}\) i układ nie ma rozwiązań.

[peku33]

Ale układ miał być jednorodny...

[Dasio11]

Wg mnie wszystkie twoje odpowiedzi są dobre. W czwartym zauważ najpierw, że

\(\displaystyle{ z^{20} = z^{15} = 1 \iff z^5 = 1.}\)