Pierwiastek ujemny i postać trygonometryczna?

[poczatkujacy111]

Witam, jako że zaliczam się do tych osób, które mają ogromny problem z matmą, liczą zadania i liczę i czym więcej ich liczę, tym gorsze wyniki mi wychodzą... Mam obliczyć \(\displaystyle{ (- \sqrt{3} +i) ^{6}}\) korzystając z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Już na samym starcie jak policzyłam moduł, to wyszło mi, że jest on ujemny... Tak jest, czy ja źle liczę? Mógłby ktoś mi pomóc w rozwiązaniu tego zadania?

[cosinus90]

Źle liczysz. Pokaż, co dostajesz.

[poczatkujacy111]

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( -\sqrt{3} \right) ^{2} + 1 ^{2}}}\) skróciłam potęgę z pierwiastkiem przy \(\displaystyle{ 3}\) i zostało \(\displaystyle{ \sqrt{-3+1} = \sqrt{-2}}\)... Ale teraz widzę, że zgubiłam - po drodze... powinno wyjść \(\displaystyle{ \sqrt{4} =2}\) ?
\(\displaystyle{ \cos \varphi = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi =\frac{1}{2}}\)
czyli II ćwiartka, więc \(\displaystyle{ \vaprhi = \frac{5}{6} \pi}\)
\(\displaystyle{ z ^{6} = \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} +i \frac{1}{2} \right)}\) ??

[cosinus90]

Tak, moduł i kąt dobrze wyszły. Ale na końcu źle obliczasz potęgę, podstaw dobrze do wzoru de Moivre'a.

[poczatkujacy111]

\(\displaystyle{ Z ^{6} = 64 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})}\)
??

[cosinus90]

Nie do końca. Mnożysz kąt przez wykładnik potęgi.

[poczatkujacy111]

\(\displaystyle{ \cos \left( 6 \cdot \frac{5}{6} \pi \right) + i\sin \left( 6 \cdot \frac{5}{6} \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ 6 \pi}\) się skróci i zostanie samo \(\displaystyle{ 5 \pi}\), które dąży do 0?
\(\displaystyle{ \cos 5 \pi = \cos 0 = -1}\)
\(\displaystyle{ \sin 5 \pi = \sin 0 = 0}\)
i zostanie \(\displaystyle{ Z ^{6} = -64}\)?

[cosinus90]

Nie skraca się \(\displaystyle{ 6 \pi}\), tylko \(\displaystyle{ 6}\). \(\displaystyle{ 5 \pi}\) nie dąży do żadnego zera.
Wartości funkcji trygonometrycznych wyszły dobrze, choć z błędnych przekształceń. Ostateczny wynik poprawny.