wyznacz zbiór rozwiązań

[method8]

Wyznacz zbiór rozwiązań spełniających warunek:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \le Arg((-1-j)z^3) \le \pi}\)

Przekształcam do postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \le Arg(-1-j)+3Arg(z) \le \pi}\) i co dalej?

-- 30 sty 2014, o 19:32 --

\(\displaystyle{ Arg(-1-j)= \frac{3\pi}{4}}\)
zatem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{4} \le+3Arg(z)+2k\pi \le \pi-\frac{3\pi}{4}}\)
skąd się bierze to \(\displaystyle{ 2k\pi}\)?

[waliant]

skąd się bierze to \(\displaystyle{ 2k\pi}\)?

\(\displaystyle{ 2k\pi}\) to okres, który trzeba dodawać, aby otrzymać wszystkie rozwiązania.

[method8]

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{12} - \frac{2k\pi}{3} \le Arg(z) \le \frac{\pi}{12}- \frac{2k\pi}{3}}\)
więc \(\displaystyle{ k=0, k=1}\) lub \(\displaystyle{ k=-1}\). Skąd wzięły się te \(\displaystyle{ k}\)?!

[waliant]

podstawiasz za \(\displaystyle{ k}\) kolejne liczby całkowite, aż nie powtórzy Ci się wartość. Przykładowo \(\displaystyle{ \frac{5}{12} \pi}\) odpowiada rozwiązaniu \(\displaystyle{ \frac{29}{12} \pi}\). Dlaczego? Bo różnią się o okres \(\displaystyle{ 2k \pi}\) czyli całe "okrążenie" w układzie współrzędnych.