Interpretacja geomeyryczna

[matinf]

Witam,
3 przykłady

a) \(\displaystyle{ |z-i| = |z+i|}\)
\(\displaystyle{ z = x + yi}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ x^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y+1)^2}\)
dwa przypadki stąd powstaną:
1)\(\displaystyle{ y - 1 = y + 1}\)
sprzeczność
2) \(\displaystyle{ y - 1 = -y -1}\)
\(\displaystyle{ y = 0}\)
Czyli geometrycznie to każda liczba o części urojonej zero, czyli cała oś rzeczywista.
Ok ?
b)
\(\displaystyle{ z = -\overline{z}}\)
\(\displaystyle{ z = x + yi}\)
\(\displaystyle{ x + yi = -x + yi}\)
\(\displaystyle{ 2x = 0}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)
czyli cała oś urojonych powinna zostać zamalowana.
Ok ?
c)
Nie wiem natomiast jak zinterpretować
\(\displaystyle{ |z^2 + 2z| = 2}\)
Wiem, niby, że
\(\displaystyle{ |w| = 1}\)
To są wszystkie liczby zespolone leżące na okręgu o promieniu 1.
Ale jak tutaj sobie poradzić to nie wiem.
Mogę co prawa znowu podstawić - ale to do niczego dobrego nie prowadzi.
Mogę dostać do tego jakąś wskazówkę ?

[a4karo]

ad a) ok, ale można było sobie poradzić bez liczenia: \(\displaystyle{ |z-a|}\) to odległość liczby \(\displaystyle{ z}\) od liczby \(\displaystyle{ a}\). Gdzie leżą liczby \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\)? Jak wygląda zbór punktów równoodległych od nich? Uogólnienie: jak wygląda zbiór liczb zespolonych spełniających równanie \(\displaystyle{ |z-a|=|z-b|}\) , gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa dowolnymi liczbami zespolonymi?

ad b) ok, i znów można to zrobić bez liczenia, patrząc tyko na geometrię tych przekształceń: sprzężenie to symetria względem osi rzeczywistej, a \(\displaystyle{ z\to -z}\) to symetria względem początku układu. Które punkty sa niezmiennicze przy złożeniu tych dwóch przekształceń?

ad c) \(\displaystyle{ z^2+2z=z^2+2z+1-1}\) + wskazówka do pkt a)

[matinf]

Ok, nie wiem czy będzie dobrze, ale coś zrobię, nie będę stał w miejcu:


niech \(\displaystyle{ w = (z+1)^2}\)
Wtedy, mamy
\(\displaystyle{ |z^2 + 2z| = |w - 1| = 2}\)
Czyli na rysunku wszystkie te liczby, które są odległe od 2 o 1.
W takim razie zaczepiamy okrąg w punkcie (1, 0i) o promieniu 2.


Ale podejrzane dla mnie jest to podstawienie.