udowodnij tożsamość

[method8]

Mam taką tożsamość do wykazania:
\(\displaystyle{ \ctg3x= \frac{\ctg^{3}x-3\ctg x}{3\ctg^2x-1}}\)
i pytanie dość nietypowe. Da to udowodnić nie korzystając ze wzorów Eulera?

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ z=u+iv, z\ne 0}\).

Mamy \(\displaystyle{ z=|z|(\cos x+i\sin x)}\), więc \(\displaystyle{ u=|z|\cos x, v=|z|\sin x}\) oraz (ze wzoru de Moivre'a) \(\displaystyle{ u^3-3uv^2+i(3u^2v-v^3)=(u+iv)^3=z^3=|z|^3(\cos 3x+i\sin 3x)}\).

Stąd dostajemy \(\displaystyle{ \begin{cases} u^3-3uv^2=|z|^3\cos 3x \\ 3u^2v-v^3=|z|^3\sin 3x \end{cases}\iff\begin{cases}\cos^3x-3\sin^2x\cos x=\cos 3x \\ 3\cos^2x\sin x-\sin^3x=\sin 3x \end{cases}}\).

Po wstawieniu otrzymanych równości do tożsamości \(\displaystyle{ \cot 3x=\frac{\cos 3x}{\sin 3x}}\) łatwo otrzymasz żądany wzór.

[method8]

W ogóle dzięki za szczegółowe wytłumaczenie ! Wszystko jest zrozumiałe do tego momentu \(\displaystyle{ \cot 3x=\frac{\cos 3x}{\sin 3x}= \frac{\cos^3x-3\sin^2x\cos x}{3\cos^2x\sin x-\sin^3x }}\) Nie wiam jak to przekształcić;/. Możesz mi chociaż powiedzieć jakich wzorów użyć?

[yorgin]

Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sin^3 x}\).