przedstawić liczbę w postaci trygonometrycznej

[davidd]

Przedstawić liczbę \(\displaystyle{ - \sqrt{3} +i}\) w postaci trygonometrycznej, a następnie ze wzoru de Moivre'a obliczyć: \(\displaystyle{ (- \sqrt{3} +1) ^{24}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{4} = 2\\}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2} \\

\cos \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\

[2 (\cdot (\cos \frac{5 \pi }{6} + i \sin \frac{5 \pi }{6} )] ^{24} \\

\cos = \frac{1}{2} \\

\sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}\\}\)

Czy do tego momentu jest dobrze?

No i mam pytanie - jak znaleźć najszybciej kąt alfa mając wartości sinusa i cosinusa - w tym wypadku znalazłem z tablic, ale kolejnym razem może nie być tak łatwo...

[cosinus90]

Ciężko jest to sprawdzić, bo zapis jest nieciekawy. Do momentu wyliczenia modułu i wartości kąta jest ok, dalej stosujesz jakieś skróty myślowe albo masz błędy w zapisie. Pokaż dokładnie, co robisz.

Jak znaleźć najszybciej? Przede wszystkim musisz określić, która to ćwiartka skoro sinus ma taki znak, a cosinus taki (to zawsze będzie tylko jedna ćwiartka układu). Następnie korzystając ze wzorów redukcyjnych znajdujesz poszukiwany kąt.

[davidd]

Jeśli tutaj wiem, że ten kąt zawiera się w drugiej ćwiartce, to jak sprawdzić ile ma stopni mając np. sinus i cosinus? Jeśli znałbym dokładnie ile ma stopni, to skorzystałbym ze wzorów redukcyjnych, a w tym wypadku?

[cosinus90]

W tym wypadku szukasz najpierw wartości kąta dla pierwszej ćwiartki - skoro sinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to będzie to kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\). Następnie, wiedząc że leży on w drugiej ćwiartce używasz wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ \sin (\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \left( \frac{5\pi}{6}\right)}\).

[davidd]

\(\displaystyle{ \left( - \sqrt{3} + i \right) ^{24} = \left[ 2 \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i \right) \right] ^{24}}\)

czy do tego momentu jest dobrze?
jak to odpowiednio poskracać?

[cosinus90]

Tak, jest dobrze. Zapisz teraz wyrażenie w nawiasie w postaci trygonometrycznej i wykorzystaj wzór de Moivre'a.

[davidd]

\(\displaystyle{ \left( - \sqrt{3} + i \right) ^{24} = 2 ^{24} \left( \cos 24 \cdot \frac{5 \pi }{6} + i\sin 24 \cdot \frac{5 \pi }{6} \right) \\[2ex]
\left( - \sqrt{3} + i \right) ^{24} = 2 ^{24} \left( \cos \left( -12 \sqrt{3} \right) + i\sin 12 \right)}\)

Wzór pewnie dobrze rozpisałem, ale nie wiem czy dobrze postępuje z działaniami w tym wypadku..

[cosinus90]

Przez \(\displaystyle{ 24}\) mnożysz kąt sinusa i cosinusa, a nie jakieś wartości...

[davidd]

Podstawiłem wartości dla \(\displaystyle{ \cos \frac{5 \pi }{6}}\) i \(\displaystyle{ \sin \frac{5 \pi }{6}}\)
Nie można tak?

zatem:
\(\displaystyle{ (- \sqrt{3} +1) ^{24} = 2 ^{24} (\cos 20 \pi + i\sin 20 \pi )}\)

Tak?
tyle, że mam problem co z tym dalej zrobić..

[clubx126]

Pstaraj się doprowadzić kąt tak aby znajdował się on w przedziale od zera do \(\displaystyle{ 2\pi}\).
wykorzystaj okresowość funkcji.