Płaszczyzna Gaussa

[Adrianovv]

Narysuj \(\displaystyle{ \left\{ {z \in ∈ C : |z| + \Im(z) < \Re(z)}\right\}}\). (Zapisz konieczne przeliczenia)

Jak zaznaczać takie równania na płaszczyźnie Gaussa? Proszę o napisanie mi jak to zrobić, a wtedy będę wiedział już jak to zrobić.

[chris_f]

Zaczynasz od zapisania liczby zespolonej w postaci algebraicznej \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ |x+iy|+\Im(x+iy)<\Re(x+iy)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+y<x}\)
czyli zadanie sprowadza się do geometrii analitycznej w liczbach rzeczywistych.
Odrobinę porządkujemy
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}<x-y}\)
podnosimy do kwadratu i patrzymy jaka krzywa nam wyjdzie.

PS. Może nie tyle krzywa, tylko pewien obszar, akurat w tym przypadku dosyć łatwy do zaznaczenia.

[Adrianovv]

A takie coś?

\(\displaystyle{ \left\{ z \in C : |z + 3 + 3i| < \left| z-2-i\right| \right\}}\)

[chris_f]

Analogicznie. Po podstawieniu i uporządkowaniu dostaniesz
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+3)^2+(y+3)^2}<\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}}\)
Po podniesieniu do kwadratu, wykonaniu działań, uproszczą się wszystkie kwadraty, tak, że z tym obszarem też nie powinno być problemu.

[Adrianovv]

A jak rozwiązać takie równanie:

\(\displaystyle{ z|z| + 3z + i = 0}\)

lub takie:

\(\displaystyle{ z^{2} + |z| = 2i \Re(z)}\)

[Premislav]

Np. rozpisując \(\displaystyle{ z}\) jako \(\displaystyle{ a+bi}\). Wtedy, jak zapewne wiesz, \(\displaystyle{ \Re(z)=a}\), \(\displaystyle{ \Im(z)=b}\). Moduł liczby zespolonej chyba umiesz wyznaczyć...

[Adrianovv]

Tak, ale tych przykładów nie potrafię rozwiązać proszę o rozwiązanie chociaż początku.

[chris_f]

Tak jak napisał @Premislav podstawiamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Mamy wtedy
\(\displaystyle{ z|z| + 3z + i = 0}\)
\(\displaystyle{ (x+iy)\sqrt{x^2+y^2}+3(x+iy)+i=0}\)
\(\displaystyle{ x\sqrt{x^2+y^2}+3x+\left(y\sqrt{x^2+y^2}+3y+1\right)=0}\)
Przyrównujemy do zera zarówno część rzeczywistą jak i urojoną i dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x\sqrt{x^2+y^2}+3x=0\\
y\sqrt{x^2+y^2}+3y+1=0\end{cases}}\)
Z pierwszego dostajemy
\(\displaystyle{ x=0\wedge y\in\mathbb{R}\vee \sqrt{x^2+y^2}=0}\)
Druga możliwość daje natychmiast \(\displaystyle{ x=0\wedge y=0}\) co od razu daje sprzeczność w drugim równaniu. Podstawiamy zatem do drugiego równania \(\displaystyle{ x=0}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ y|y|+3y+1=0}\)
Rozważamy dwa przypadki:
I. \(\displaystyle{ y>0}\)
Wtedy mamy
\(\displaystyle{ y^2+3y+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=5,\quad y_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\quad y_2= y_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}\)
Obydwa rozwiązania odrzucamy, bo nie spełniają założenia.
II. \(\displaystyle{ y<0}\)
\(\displaystyle{ -y^2+3y+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=13,\quad y_1=\frac{-3-\sqrt{13}}{-2}=y_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},\quad
y_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{-2}=y_1=\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\)
Tu odrzucamy pierwsze równanie i ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ x=0,\ y=\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\)

W drugim robisz podobnie.

[Adrianovv]

\(\displaystyle{ z^2+|z|=2i \Re(z)}\)

\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2+\sqrt(x^2+y^2)=2ix}\)

\(\displaystyle{ x^2-y^2+ \sqrt{x^2+y^2}+2xyi=2xi}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2+ \sqrt{x^2+y^2}=0 \\ 2xyi=2xi \end{cases}}\)

Czy tak to ma być mowa o tym drugim przykładzie?

[chris_f]

Tak, tyle, że w tym drugim równaniu już nie występuje \(\displaystyle{ i}\). Rozwiązywanie zacznij najlepiej od drugiego.

[Adrianovv]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0
\\ 2xy=2x \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0
\\ y=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-1+\sqrt{x^2+1}=0
\\ y=1 \end{cases}}\)

A dalej ?

[chris_f]

Pominąłeś w drugim możliwość \(\displaystyle{ x=0}\), wtedy nie wolno dzielić przez \(\displaystyle{ x}\). Po podstawieniu dostaniesz równanie dla \(\displaystyle{ y}\).

No a same równanie rozwiązujesz normalnie.