Funkcja zespolona kosinus - dowód

[ostas12345]

Cześć, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania

Wykazać, że każda liczba zespolona \(\displaystyle{ w \in \mathbb{C}}\) należy do zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C}}\)

Wydaje mi się, że trzeba wykorzystać wzór \(\displaystyle{ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}}\), ale nie wiem co robić dalej.
Gdyby ktoś mógł podać wskazówkę jak rozwiązać powyższe zadanie to byłbym wdzięczny.

[AdamL]

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = w}\)
wyznacz teraz x(w) jako funkcję i zobacz, ze dla kazdego w istnieje x t, że.....itd

[ostas12345]

Chyba już wiem jak rozwiązać to zadanie.
Dobrze robię?

\(\displaystyle{ \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = w \ \Leftrightarrow \ e^{ix} + \frac{1}{e^{ix}} = 2w \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{e^{ix}}(e^{2ix} + 1) = 2w \ \Leftrightarrow \\ e^{2ix} + 1 = 2we^{ix} \ \Leftrightarrow \ e^{2ix} - 2we^{ix} + 1 = 0 \quad t^{2}-2wt+1\\ \Delta = 4w^{2} -4 = 4(w^{2}-1) \quad \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{w^{2}-1} \\ t_1 = w- \sqrt{w^{2}-1} \ \ \ \ \ \wedge \ \ t_2 = w+ \sqrt{w^{2}-1} \\ e^{ix} = w- \sqrt{w^{2}-1} \ \ \ \ \wedge \ \ e^{ix} = w+ \sqrt{w^{2}-1} \\ x = \frac{\ln (w- \sqrt{w^{2}-1})}{i} \ \wedge \ \ x = \frac{\ln (w+ \sqrt{w^{2}-1})}{i}}\)

Dziedziną logarytmu zespolonego są wszystkie liczby zespolone poza zerem, ale \(\displaystyle{ w+ \sqrt{w^{2}-1})}\) nigdy nie jest równe zero, więc można podstawić dowolne \(\displaystyle{ w}\)