Liczby zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Viiee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 sty 2014, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

Liczby zespolone

Post autor: Viiee »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań tego typu.

1) Obliczyć \(\displaystyle{ z_{6} = \left( \sqrt{- \frac{7}{5} }+ \sqrt{ \frac{3}{5} } \right) ^{11}}\), wiedząc że arg \(\displaystyle{ z_{6}}\) jest znany i wynosi \(\displaystyle{ q_{6}}\)

2) Obliczyc i zaznaczyc na płaszczyznie zespolonej dwa dowolne pierwiastki
\(\displaystyle{ \sqrt[8]{z}}\) dla \(\displaystyle{ z = \sqrt{255} + i}\). Nalezy wyrazic argument z przy pomocy odpowiednich funkcji trygonometrycznych, natomiast do dalszych obliczen, mozna przyjac,
ze \(\displaystyle{ arg _{z} = 0, 02.}\)
Ogólnie wiem o co chodzi, ale te wszystkie dodatkowe informacje robią mi wodę z mózgu.
Liczę na szybką odpwiedź, pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 10 sty 2014, o 12:27 przez Viiee, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Liczby zespolone

Post autor: yorgin »

Viiee pisze: 1) Obliczyć \(\displaystyle{ z{6} = \left( \sqrt{- \frac{7}{5} }+ \sqrt{ \frac{3}{5} } \right) ^{11}}\), wiedząc że arg \(\displaystyle{ {z6}}\) jest znany i wynosi \(\displaystyle{ q_{6}}\)
Tu jest \(\displaystyle{ z_6}\) czy \(\displaystyle{ z^6}\)? Popraw treść tal, by wiadomo było, co trzeba zrobić.
Viiee pisze: 2) Obliczyc i zaznaczyc na płaszczyznie zespolonej dwa dowolne pierwiastki
\(\displaystyle{ \sqrt[8]{z}}\) dla \(\displaystyle{ z = \sqrt{255} + i}\). Nalezy wyrazic argument z przy pomocy odpowiednich funkcji trygonometrycznych, natomiast do dalszych obliczen, mozna przyjac,
ze \(\displaystyle{ \arg {z} = 0, 02.}\)
Ogólnie wiem o co chodzi, ale te wszystkie dodatkowe informacje robią mi wodę z mózgu.
To zapomnij o dodatkowych informacjach (wskazówki robiące wodę z mózgu?) i szukaj postaci trygonometrycznej.
Viiee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 sty 2014, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

Liczby zespolone

Post autor: Viiee »

Tam jest \(\displaystyle{ z_{6}}\), zaraz poprawie.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Liczby zespolone

Post autor: yorgin »

No to skoro znasz argument \(\displaystyle{ z_6}\), to policz jeszcze moduł tej liczby.
Viiee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 sty 2014, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

Liczby zespolone

Post autor: Viiee »

Skoro nie ma tak nigdzie \(\displaystyle{ i}\) to znaczy, że nie ma tam części urojonej, tak?
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( \sqrt{- \frac{7}{5}} + \sqrt{ \frac{3}{5} } \right) ^{2} + 0 } = \sqrt{- \frac{4}{5} }}\) Dobrze to policzyłem? Dalej mam zrobić z tego postać trygonometryczną?

W drugim zadaniu wyliczam moduł i wychodzi 16, jednak jak to się ma do cos i sin?
\(\displaystyle{ \cos = \frac{x}{\left| z\right| } = \frac{ \sqrt{255} }{16}
\sin = \frac{y}{\left| z\right| } = \frac{1}{16}}\)
Nie są to standardowe kąty, więc zadanie pewnie jest źle rozwiązane.

-- 10 sty 2014, o 14:33 --

W drugim zadaniu doszedłem do momentu uzyskania postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ w _{0} = \sqrt[8]{16} \left( \cos \frac{0,02 \pi }{8} + i \sin \frac{0,02 \pi }{8} \right)}\)
Ktoś ma pomysł jak sprowadzić to do postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej?
Ostatnio zmieniony 10 sty 2014, o 17:44 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Liczby zespolone

Post autor: yorgin »

Viiee pisze:Skoro nie ma tak nigdzie \(\displaystyle{ i}\) to znaczy, że nie ma tam części urojonej, tak?
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( \sqrt{- \frac{7}{5}} + \sqrt{ \frac{3}{5} } \right) ^{2} + 0 } = \sqrt{- \frac{4}{5} }}\) Dobrze to policzyłem? Dalej mam zrobić z tego postać trygonometryczną?

W drugim zadaniu wyliczam moduł i wychodzi 16, jednak jak to się ma do cos i sin?
\(\displaystyle{ \cos = \frac{x}{\left| z\right| } = \frac{ \sqrt{255} }{16}
\sin = \frac{y}{\left| z\right| } = \frac{1}{16}}\)
Nie są to standardowe kąty, więc zadanie pewnie jest źle rozwiązane.
A ile to jest \(\displaystyle{ \sqrt{-\frac{7}{5}}}\) ?
Kąt liczby \(\displaystyle{ z_6}\) (jakkolwiek absurdalne jest to oznaczenie) masz podany jako \(\displaystyle{ q_6}\). Po co więc go chcesz liczyć?
Viiee pisze: W drugim zadaniu doszedłem do momentu uzyskania postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ w _{0} = \sqrt[8]{16} \left( \cos \frac{0,02 \pi }{8} + i \sin \frac{0,02 \pi }{8} \right)}\)
Ktoś ma pomysł jak sprowadzić to do postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej?
Moduł jest źle policzony.
Co do argumentu - jest to \(\displaystyle{ 0.02}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ \tan (0.02)\approx 0.02}\). Raczej mało, prawda? Ja bym to na "oko" rysował. Jeżeli chciałbym mieć w miarę dokładnie, musiałbyś narysować trójkąt prostokątny o podstawie \(\displaystyle{ 50}\) kratek i wysokości \(\displaystyle{ 1}\) kratki. Lub dowolnie przeskalowany. Tak mały jest argument, więc taki ostry będzie kąt.
ODPOWIEDZ