Udowodnij równość liczb zespolonych

[Nihilius]

Hej, mam problem z zadankiem.
Mam udowodnić że liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) są równe gdy
\(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\) gdy dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC \setminus \RR}\)
\(\displaystyle{ \exp( \alpha \cdot z) = \exp( \alpha \cdot w)}\)

[Dasio11]

Mógłbyś trochę jaśniej napisać treść zadania? Na razie wygląda to jak podwójna implikacja

\(\displaystyle{ z=w \impliedby \exp(z) = \exp(w) \impliedby (\exists \alpha \in \CC \setminus \RR) \exp( \alpha \cdot z ) = \exp( \alpha \cdot w ),}\)

którą nie wiadomo jak interpretować.

[Nihilius]

Trochę pomieszałem, trzeba udowodnić że \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) są równe wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ \exp (z)=\exp (w)}\) i dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC \setminus \RR}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ \exp (z \cdot \alpha ) = \exp (w \cdot \alpha )}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ (\implies)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ z = w,}\) to

\(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\) oraz \(\displaystyle{ \exp(z \mathrm i) = \exp(w \mathrm i).}\)

\(\displaystyle{ (\impliedby)}\)
Wskazówka: kiedy \(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\)?

[Nihilius]

Nie wiem czy dobrze rozumiem ale \(\displaystyle{ \exp (z)= e^{z}=e ^{w}=\exp (w)}\). Skoro podstawa potęgi jest taka sama i wynosi \(\displaystyle{ e}\) to by równość zachodziła wykladniki muszą być równe ?

[Dasio11]

Nie. Przecież \(\displaystyle{ e^z}\) nie jest funkcją różnowartościową.
Hint:

\(\displaystyle{ e^z = e^w \iff \frac{e^z}{e^w} = 1 \iff e^{z-w} = 1.}\)

Wystarczy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ e^v = 1.}\)

[Nihilius]

Rozumiem, ale po co jest więc ta \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

[Dasio11]

Jest częścią treści zadania.