Udowodnij równość liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 5 paź 2013, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Udowodnij równość liczb zespolonych
Hej, mam problem z zadankiem.
Mam udowodnić że liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) są równe gdy
\(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\) gdy dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC \setminus \RR}\)
\(\displaystyle{ \exp( \alpha \cdot z) = \exp( \alpha \cdot w)}\)
Mam udowodnić że liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) są równe gdy
\(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\) gdy dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC \setminus \RR}\)
\(\displaystyle{ \exp( \alpha \cdot z) = \exp( \alpha \cdot w)}\)
Ostatnio zmieniony 6 sty 2014, o 12:22 przez Dasio11, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Udowodnij równość liczb zespolonych
Mógłbyś trochę jaśniej napisać treść zadania? Na razie wygląda to jak podwójna implikacja
\(\displaystyle{ z=w \impliedby \exp(z) = \exp(w) \impliedby (\exists \alpha \in \CC \setminus \RR) \exp( \alpha \cdot z ) = \exp( \alpha \cdot w ),}\)
którą nie wiadomo jak interpretować.
\(\displaystyle{ z=w \impliedby \exp(z) = \exp(w) \impliedby (\exists \alpha \in \CC \setminus \RR) \exp( \alpha \cdot z ) = \exp( \alpha \cdot w ),}\)
którą nie wiadomo jak interpretować.
-
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 5 paź 2013, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Udowodnij równość liczb zespolonych
Trochę pomieszałem, trzeba udowodnić że \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) są równe wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ \exp (z)=\exp (w)}\) i dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC \setminus \RR}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ \exp (z \cdot \alpha ) = \exp (w \cdot \alpha )}\)
\(\displaystyle{ \exp (z)=\exp (w)}\) i dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC \setminus \RR}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ \exp (z \cdot \alpha ) = \exp (w \cdot \alpha )}\)
Ostatnio zmieniony 6 sty 2014, o 13:13 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Udowodnij równość liczb zespolonych
\(\displaystyle{ (\implies)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ z = w,}\) to
\(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\) oraz \(\displaystyle{ \exp(z \mathrm i) = \exp(w \mathrm i).}\)
\(\displaystyle{ (\impliedby)}\)
Wskazówka: kiedy \(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\)?
Jeśli \(\displaystyle{ z = w,}\) to
\(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\) oraz \(\displaystyle{ \exp(z \mathrm i) = \exp(w \mathrm i).}\)
\(\displaystyle{ (\impliedby)}\)
Wskazówka: kiedy \(\displaystyle{ \exp(z) = \exp(w)}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 5 paź 2013, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Udowodnij równość liczb zespolonych
Nie wiem czy dobrze rozumiem ale \(\displaystyle{ \exp (z)= e^{z}=e ^{w}=\exp (w)}\). Skoro podstawa potęgi jest taka sama i wynosi \(\displaystyle{ e}\) to by równość zachodziła wykladniki muszą być równe ?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Udowodnij równość liczb zespolonych
Nie. Przecież \(\displaystyle{ e^z}\) nie jest funkcją różnowartościową.
Hint:
\(\displaystyle{ e^z = e^w \iff \frac{e^z}{e^w} = 1 \iff e^{z-w} = 1.}\)
Wystarczy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ e^v = 1.}\)
Hint:
\(\displaystyle{ e^z = e^w \iff \frac{e^z}{e^w} = 1 \iff e^{z-w} = 1.}\)
Wystarczy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ e^v = 1.}\)