Witam.
Gdzie mogę znaleźć łatwy i przejrzysty dowód wzoru: \(\displaystyle{ \sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{ \infty } \left( 1- \frac{ z^{2} }{n ^{2} } \right)}\)
Byłbym wdzięczny za pomoc.
-- 5 sty 2014, o 22:02 --
Znalazłem dowód w książce F. Leja - Funkcje zespolone na stronie 205.
Napotkałem jednak pewien problem.
Mając równanie w postaci: \(\displaystyle{ I(z)= \prod_{v=1}^{ \infty } \left( 1- \frac{z ^{2} }{v ^{2} } \right) = \frac{\sin \pi z}{ e^{h(z)}z }}\)
podstawiam do równania: \(\displaystyle{ \frac{I'(z)}{I(z)} = \sum_{v=1}^{ \infty } \frac{f' _{v}(z) }{1+ f_{v}(z) }}\), gdzie \(\displaystyle{ I(z)= \prod_{v=1}^{ \infty } \left( 1+ f _{v} (z)\right)}\).
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ f _{v} (z)=- \frac{z ^{2} }{v ^{2} }}\).
Licząc \(\displaystyle{ \frac{I'(z)}{I(z)}}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ \pi \ctg \pi z - h'(z) - \frac{1}{z}}\).
Jednak licząc \(\displaystyle{ \sum_{v=1}^{ \infty } \frac{f' _{v}(z) }{1+ f_{v}(z) }}\) podstawiając \(\displaystyle{ f _{v} (z)=- \frac{z ^{2} }{v ^{2} }}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ \sum_{v=1}^{ \infty } \frac{-2z}{v(v+z)}}\) a nie jak w książce \(\displaystyle{ \sum_{v=1}^{ \infty } \frac{2z}{(z-v)(z+v)}}\).
Mógłby ktoś znaleźć błąd w moim rozumowaniu?
Pozdrawiam -- 6 sty 2014, o 00:25 --Błąd już znaleziony