Liczba zespolona do dużej potęgi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: VillagerMTV »

Mam zadanie:
\(\displaystyle{ \left( 2 \sqrt{3}-2i \right)^{34}}\)
Wyciągnąłem 2 przed wszystko i mam:
\(\displaystyle{ 2^{34} \cdot ( \sqrt{3}-i)^{34}}\)
Przechodzimy na postać trygonometryczną liczby(tej po znaku mnożenia) i mam:
\(\displaystyle{ 2(\cos30+i\sin30)}\) i podnosimy do \(\displaystyle{ 34}\) potęgi, czyli wszysto razem:
\(\displaystyle{ 2^{34} \cdot 2^{34}((\cos34 \cdot 30+i\sin34 \cdot 30)}\).Wszystko dobrze?
szw1710

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: szw1710 »

Ideowo tak. Ale kąt nie będzie miał \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\).
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: VillagerMTV »

Dlaczego? Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przy \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) przy \(\displaystyle{ \cos}\)
szw1710

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: szw1710 »

Na pewno \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)? Uściślijmy: wyznacz postać trygonometryczną liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3}-i}\). Może narysuj ją najpierw w układzie współrzędnych.
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: VillagerMTV »

Moduł wychodzi 2, a w układzie współrzędnych powstaje trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), wysokości \(\displaystyle{ 1}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 2}\), tak?
szw1710

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: szw1710 »

Ale ćwiartka układu jest ważna!!! Będzie taki trójkąt, lecz kąt \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) nie jest argumentem tej liczby. Argument to kąt pomiędzy wektorem wodzącym liczby zespolonej, a dodatnim kierunkiem osi \(\displaystyle{ x}\). Popraw się teraz.
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: VillagerMTV »

Już rozumiem, chodzi o minus?
szw1710

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: szw1710 »

Tak.
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Liczba zespolona do dużej potęgi

Post autor: VillagerMTV »

Dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ