Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi

[Kubaniec]

Witam, proszę o pomoc, gdzieś muszę popełniać błąd lecz nie wiem gdzie.

\(\displaystyle{ a=2 \left[ \cos \left( \frac{5}{6} \pi \right) +i\sin \left( \frac{5}{6} \pi \right) \right]}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{5}{4} \pi \right) +i\sin \left( \frac{5}{4} \pi \right) \right]}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=4 \left[ \cos \left( \frac{2 \cdot 5}{6} \pi \right) +i\sin \left( \frac{2 \cdot 5}{6} \pi \right) \right] =4 \left[ \cos \left( \frac{10}{6} \pi \right) +i\sin \left( \frac{10}{6} \pi \right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \frac{10}{6} \pi}\) to zdecydowanie kąt czwartej ćwiartki, więc wyrażam ten kąt przy pomocy \(\displaystyle{ \alpha=2 \pi- \alpha_{0}}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{0}= \pi/3}\), ćwiartka czwratka, sinus ujemny, cosinus dodatni
\(\displaystyle{ 4 \left[ \cos \left( \frac{10}{6}\pi \right) +i\sin \left( \frac{10}{6}\pi \right) \right] =4 \left[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) -i\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \right]}\)

Rozwiązanie powinno być inne, tak samo z liczbą b podniesioną do potęgi trzeciej

\(\displaystyle{ b^{3}=2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{15}{4}\pi \right) +i\sin \left( \frac{15}{4}\pi \right) \right] =2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( 2\pi+\frac{7}{4}\pi \right) +i\sin \left( 2\pi+\frac{7}{4}\pi \right) \right] =2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{7}{4}\pi \right) -i\sin \left( \frac{7}{4}\pi \right) \right]}\)
ćwiartka czwarta, więc sinuj ujemny, cosinus dodatni, ale to też jest źle i nie wiem gdzie mam błąd

[lukasz1804]

Poprawnie obliczyłeś \(\displaystyle{ a^2}\), ale przy obliczaniu \(\displaystyle{ b^3}\) w ostatnim wierszu powinien być przeciwny znak: \(\displaystyle{ 2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{7}{4}\pi \right) +i\sin \left( \frac{7}{4}\pi \right) \right]}\). I dopiero teraz skorzystasz z faktu, że \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\) jest kątem czwartej ćwiartki.
Mogłeś też szybciej zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{15}{4}\pi=4\pi-\frac{1}{4}\pi}\).

[Kubaniec]

czyli o jeden krok za wcześnie wykonywałem operację ze zmianą znaków???

[lukasz1804]

Tak, odrobinę za wcześnie wykonałeś ten krok.

[Kubaniec]

Potem mam iloczyn obliczyć
\(\displaystyle{ a^{2} * b^{3}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=4 \left[ \cos \left( \frac{2 \cdot 5}{6} \pi \right) +i\sin \left( \frac{2 \cdot 5}{6} \pi \right) \right] =4 \left[ \cos \left( \frac{10}{6} \pi \right) +i\sin \left( \frac{10}{6} \pi \right) \right]}\)
\(\displaystyle{ b^{3}=2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{15}{4}\pi \right) +i\sin \left( \frac{15}{4}\pi \right) \right] =2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( 2\pi+\frac{7}{4}\pi \right) +i\sin \left( 2\pi+\frac{7}{4}\pi \right) \right] =2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{7}{4}\pi \right) +i\sin \left( \frac{7}{4}\pi \right) \right]=2 \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) -i\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right]}\)

Wychodzi mi
\(\displaystyle{ 8\sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{7}{12} \pi \right) +i\sin \left( \frac{7}{12}\pi \right) \right]}\)

poprawna odpowiedź w zbiorze zadań to
\(\displaystyle{ 8\sqrt{2} \left[ -\cos \left( \frac{5}{12} \pi \right) +i\sin \left( \frac{5}{12}\pi \right) \right]}\)