Znajdź wszystkie pierwiastki równania

[edytaa_m]

\(\displaystyle{ z ^{4}=(1-i) ^{4}}\)

[Chromosom]

Można podnieść liczbę w nawiasie dwukrotnie do kwadratu - wtedy wyrażenie uprości się. Można też zastosować wzór na pierwiastki liczby zespolonej, wynikający z postaci wykładniczej.

[edytaa_m]

Dlaczego dwukrotnie do kwadratu tylko jedną stronę? Możesz wytłumaczyć jaśniej?

[AdamL]

chodzi o \(\displaystyle{ (1-i)^{4}=( \sqrt {2} \cdot e^{i \cdot \frac{ \pi }{4} })^{4} = 4 \cdot e^{-i \cdot \pi}}\)

[edytaa_m]

Nie ma żadnego innego, prostszego sposobu?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ z^4 = (1- \mathrm i)^4 \\ \\
\frac{ z^4 }{ (1- \mathrm i)^4 } = 1 \\ \\
\left( \frac{ z }{ 1- \mathrm i } \right)^4 = 1.}\)

Równanie \(\displaystyle{ w^4 = 1}\) ma cztery pierwiastki:

\(\displaystyle{ w = 1 \vee w = \mathrm i \vee w = -1 \vee w = - \mathrm i,}\)

więc

\(\displaystyle{ \frac{ z }{ 1- \mathrm i } = 1 \vee
\frac{ z }{ 1- \mathrm i } = \mathrm i \vee
\frac{ z }{ 1- \mathrm i } = -1 \vee
\frac{ z }{ 1- \mathrm i } = - \mathrm i}\)

tj.

\(\displaystyle{ z = 1 - \mathrm i \vee
z = \mathrm i \cdot ( 1 - \mathrm i ) \vee
z = -1 \cdot ( 1 - \mathrm i ) \vee
z = - \mathrm i \cdot ( 1 - \mathrm i ).}\)

[Gouranga]

\(\displaystyle{ z^4 = (1-i)^4\\
\\
z^4 = \sqrt{2}^4 \left( \cos \pi + i \sin \pi\right)\\
\\
z^4 = 4 \left(-1 + i\cdot 0\right)\\
\\
z^4 = -4\\
\\
z_k = \sqrt[4]{4}\left( \cos \frac{\pi(2k + 1)}{4} + i \sin \frac{\pi (2k+1)}{4}\right)}\)

[edytaa_m]

dziękuję ślicznie!