pierwiastek 3 stopnia z -64

[akd87]

zadanko do rozwiazania :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-64}}\)

[mortan517]

To nie jest liczba zespolona.

\(\displaystyle{ 64 = 4^x}\)

[yorgin]

Pierwiastek liczby zespolonej

Pierwiastkiem zespolonym stopnia \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) z liczby z nazywamy każdą liczbę \(\displaystyle{ w\in \mathbb{C}}\) taką, że

\(\displaystyle{ w^{n}=z}\) i ozn. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=w\quad \Leftrightarrow \quad w^{n}=z}\)

Każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z \neq 0}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pierwiastki te wyrażają sie wzorem

\(\displaystyle{ w_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}} \right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,\cdots,n-1,\qquad \varphi=\arg z}\)

[akd87]

Kolego dostałem ostatnio takie zadanie na kolokwium właśnie w zakresie liczb zespolonych a mianowicie z pierwiastów liczb zespolonych tutaj mam 3 stopień więc otrzymam 3 pierwiastki ergo : trójkat na płaszczyźnie

[mortan517]

W takim razie wybaczcie Jak dla mnie to po prostu \(\displaystyle{ -4}\).

[akd87]

inny zapis z^3 = -64
a w lateksie to chyba tak będzie : \(\displaystyle{ z ^{3}=-64}\)

chodzi mi o wyliczenie modułu, kata fi, oraz zastosowaniu wzoru bo że to jest 4 to wiem -- 17 gru 2013, o 16:19 --chodzi mi o poprawne wyliczenie wg wzoru który wyżej podał yorgin :
\(\displaystyle{ w_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}} \right)}\)
własnie do tego zadania

[kalwi]

\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-64}=4 \sqrt[3]{-1} \\ -1=\cos \pi + j \sin \pi \\ \sqrt[3]{-1}=\cos \frac{\pi+2k \pi}{3}+j \sin \frac{\pi+2k \pi}{3}, \ \ k \in \left\{ 0,1,2\right\} \\ \sqrt[3]{-1}=\cos \frac{\pi}{3}+j \sin \frac{\pi}{3} \vee \sqrt[3]{-1}=\cos \frac{3\pi}{3}+j \sin \frac{3\pi}{3} \vee \sqrt[3]{-1}=\cos \frac{5\pi}{3}+j \sin \frac{5\pi}{3} \\ \sqrt[3]{-1}= \frac{1}{2}+j \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \sqrt[3]{-1}=-1 \vee \sqrt[3]{-1}= \frac{1}{2} -j \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

mnożysz razy 4 i masz odpowiedź.

[yorgin]

a w lateksie

to chyba tak będzie : \(\displaystyle{ z ^{3}=-64}\)

Jeżeli chcesz się podporządkować oznaczeniom ze wzoru, to to będzie \(\displaystyle{ w^n=-64}\) oraz \(\displaystyle{ z=-64}\).