Funkcja holomorficzna

[Mihalenko]

Witam,
mam problem przy wyznaczeniu funkcji holomorficznej. Kiedy otrzymałem już funkcję postaci
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{y}{x^2+y^2}+i \left( \frac{x}{x^2+y^2}+C \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą,

nie potrafię jej "naciągnąć na postać \(\displaystyle{ f(z)=...}\).

Oczywiście mógłbym napisać:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{i \cdot \overline{z}}{| z |^2 }+iC}\)

Jednak pamiętam, że jest to błędy zapis ( ponoć nie może być modułów i sprzężeń).
Jeszcze pytanie odnośnie tego jak interpretować stałą? Najpierw jest liczbą rzeczywistą( wychodzi z równań C-R), a potem \(\displaystyle{ Ci}\) mam traktować jako dowolną liczbę zespoloną?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ |z|^2=z\cdot \overline{z}}\), i wtedy \(\displaystyle{ \overline{z}}\) się skraca.

[Mihalenko]

Rzeczywiście! Czyli otrzymuję:
\(\displaystyle{ f(z)=i \cdot z+Ci}\)
To jest już dopuszczalne? Mógłbym prosić o wyjaśnienie reguł jak te funkcje przedstawiać? No i co z tą stałą ?

[norwimaj]

To jest już dopuszczalne?

Z tej postaci widać, że jest to funkcja wielomianowa, więc holomorficzna. Nie wiem, o co chodzi z dopuszczalnością.

No i co z tą stałą ?

Nie wiem, jakie zagadnienie rozwiązywałeś i skąd się ta stała wzięła. Jedno jest pewne — jeśli \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą, to \(\displaystyle{ Ci}\) nie jest całkiem dowolną liczbą zespoloną.

[Mihalenko]

Nie wiem, jakie zagadnienie rozwiązywałeś i skąd się ta stała wzięła. Jedno jest pewne — jeśli \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą, to \(\displaystyle{ Ci}\) nie jest całkiem dowolną liczbą zespoloną.

Treścią zadania było znalezienie funkcji holomorficznej \(\displaystyle{ f(x,y)=u+iv}\) przy podanym warunku:
\(\displaystyle{ u= \frac{y}{x^2+y^2}}\)
Otrzymałem \(\displaystyle{ v= \frac{x}{x^2+y^2}+C}\), gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Kiedy "naciągam" otrzymany wynik na postać wielomianową zostaje mi \(\displaystyle{ Ci}\), tak to po prostu zostawić?

[Dasio11]

Zgadza się. Dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f = u + \mathrm i v}\) zachodzi równoważność:

\(\displaystyle{ u = \frac{y}{x^2+y^2}}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest holomorficzna \(\displaystyle{ \iff}\) istnieje takie \(\displaystyle{ C \in \RR,}\) że \(\displaystyle{ f(z) = \frac{\mathrm i}{z} + \mathrm i C.}\)