Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych

[Dartam]

Witam,
mam zadanie: Rozwiąż \(\displaystyle{ x^{6} = 1+i}\)

I liczę to w ten sposób:

Wzór: \(\displaystyle{ W_{k} = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\sigma+2k \pi }{n} + i \cdot \sin \frac{\sigma+2k \pi }{n} \right)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le k \le n-1}\)

\(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ W_{0} = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 0 \cdot \pi }{6} + i \cdot \sin \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 0 \cdot \pi }{6} \right) = 2^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \left( 0 \right) + i \cdot \left( \sin \left( 0 \right) \right) = 2^{ \frac{1}{6} }}\)

\(\displaystyle{ W_{1} = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 1 \cdot \pi }{6} + i \cdot \sin \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 1 \cdot \pi }{6} \right) = 2^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \left( \frac{9}{24} \pi \right) + i \cdot \left( \sin \left( \frac{9}{24} \pi \right) \right)}\) - z tym mogę zrobić coś dalej?

\(\displaystyle{ W_{2} = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 2 \cdot \pi }{6} + i \cdot \sin \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 2 \cdot \pi }{6} \right) = 2^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \left( \frac{17}{24} \pi \right) + i \cdot \left( \sin \left( \frac{17}{24} \pi \right) \right)}\) - z tym mogę zrobić coś dalej?

I tak dalej, aż do \(\displaystyle{ W_{5}}\). Czy to jest dobry sposób? I czy \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\) (+ ewentualnie dalsze) można jeszcze bardziej rozpisać?

Proszę o pomoc

[cosinus90]

Twoim zdaniem \(\displaystyle{ \left( 2^{\frac{1}{6}}\right)^{6} = 1+i}\) ? Spójrz czasem na wynik trzeźwym okiem, czy w ogóle jest on prawdopodobny.

Po pierwsze, to zła jest liczba przed nawiasem. Nie wiem czy źle wyliczyłeś moduł liczby zespolonej który powinien wynosić \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), czy źle podstawiasz do wzoru de Moivre'a.

Po drugie, kąt dla \(\displaystyle{ W_{0}}\) nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). W \(\displaystyle{ W_{1}}\) też jest zły kąt, przelicz jeszcze raz ten ułamek w funkcjach trygonometrycznych.

Odpowiadając na Twoje pytanie - tak, możesz. Wartości funkcji trygonometrycznych dla takich kątów możesz wyznaczyć korzystając np. ze wzoru na sinus/cosinus kąta połówkowego (trzeba będzie zrobić to dwukrotnie).

[kerajs]

Sądzę że autor tematu poprawnie wyliczył moduł prawej strony równania. Przypuszczam że błąd nastąpił w pierwiastkowaniu (bo stopień drugi i szósty dał stopień ósmy!).

Zamiast \(\displaystyle{ \sqrt[8]{2}}\) ma być \(\displaystyle{ \sqrt[12]{2}}\) i popraw \(\displaystyle{ W _{0}}\) i wszystko będzie OK.

[Sidu]

jest też latwiejszy sposób na liczenie dalszych pierwiastków jeśli już masz jeden. wygląda on tak:

\(\displaystyle{ W_{k}=W_{k-1} \left( \cos \frac{2 \pi }{n} + i \sin \frac{2 \pi }{n} \right)}\)

zaoszczędzisz trochę czasu