Witam,
mam zadanie: Rozwiąż \(\displaystyle{ x^{6} = 1+i}\)
I liczę to w ten sposób:
Wzór: \(\displaystyle{ W_{k} = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\sigma+2k \pi }{n} + i \cdot \sin \frac{\sigma+2k \pi }{n} \right)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le k \le n-1}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ W_{0} = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 0 \cdot \pi }{6} + i \cdot \sin \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 0 \cdot \pi }{6} \right) = 2^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \left( 0 \right) + i \cdot \left( \sin \left( 0 \right) \right) = 2^{ \frac{1}{6} }}\)
\(\displaystyle{ W_{1} = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 1 \cdot \pi }{6} + i \cdot \sin \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 1 \cdot \pi }{6} \right) = 2^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \left( \frac{9}{24} \pi \right) + i \cdot \left( \sin \left( \frac{9}{24} \pi \right) \right)}\) - z tym mogę zrobić coś dalej?
\(\displaystyle{ W_{2} = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 2 \cdot \pi }{6} + i \cdot \sin \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \cdot 2 \cdot \pi }{6} \right) = 2^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \left( \frac{17}{24} \pi \right) + i \cdot \left( \sin \left( \frac{17}{24} \pi \right) \right)}\) - z tym mogę zrobić coś dalej?
I tak dalej, aż do \(\displaystyle{ W_{5}}\). Czy to jest dobry sposób? I czy \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\) (+ ewentualnie dalsze) można jeszcze bardziej rozpisać?
Proszę o pomoc
Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych
Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych
Ostatnio zmieniony 11 gru 2013, o 15:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Skaluj nawiasy. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Skaluj nawiasy. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych
Twoim zdaniem \(\displaystyle{ \left( 2^{\frac{1}{6}}\right)^{6} = 1+i}\) ? Spójrz czasem na wynik trzeźwym okiem, czy w ogóle jest on prawdopodobny.
Po pierwsze, to zła jest liczba przed nawiasem. Nie wiem czy źle wyliczyłeś moduł liczby zespolonej który powinien wynosić \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), czy źle podstawiasz do wzoru de Moivre'a.
Po drugie, kąt dla \(\displaystyle{ W_{0}}\) nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). W \(\displaystyle{ W_{1}}\) też jest zły kąt, przelicz jeszcze raz ten ułamek w funkcjach trygonometrycznych.
Odpowiadając na Twoje pytanie - tak, możesz. Wartości funkcji trygonometrycznych dla takich kątów możesz wyznaczyć korzystając np. ze wzoru na sinus/cosinus kąta połówkowego (trzeba będzie zrobić to dwukrotnie).
Po pierwsze, to zła jest liczba przed nawiasem. Nie wiem czy źle wyliczyłeś moduł liczby zespolonej który powinien wynosić \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), czy źle podstawiasz do wzoru de Moivre'a.
Po drugie, kąt dla \(\displaystyle{ W_{0}}\) nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). W \(\displaystyle{ W_{1}}\) też jest zły kąt, przelicz jeszcze raz ten ułamek w funkcjach trygonometrycznych.
Odpowiadając na Twoje pytanie - tak, możesz. Wartości funkcji trygonometrycznych dla takich kątów możesz wyznaczyć korzystając np. ze wzoru na sinus/cosinus kąta połówkowego (trzeba będzie zrobić to dwukrotnie).
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych
Sądzę że autor tematu poprawnie wyliczył moduł prawej strony równania. Przypuszczam że błąd nastąpił w pierwiastkowaniu (bo stopień drugi i szósty dał stopień ósmy!).
Zamiast \(\displaystyle{ \sqrt[8]{2}}\) ma być \(\displaystyle{ \sqrt[12]{2}}\) i popraw \(\displaystyle{ W _{0}}\) i wszystko będzie OK.
Zamiast \(\displaystyle{ \sqrt[8]{2}}\) ma być \(\displaystyle{ \sqrt[12]{2}}\) i popraw \(\displaystyle{ W _{0}}\) i wszystko będzie OK.
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 16 mar 2011, o 11:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych
jest też latwiejszy sposób na liczenie dalszych pierwiastków jeśli już masz jeden. wygląda on tak:
\(\displaystyle{ W_{k}=W_{k-1} \left( \cos \frac{2 \pi }{n} + i \sin \frac{2 \pi }{n} \right)}\)
zaoszczędzisz trochę czasu
\(\displaystyle{ W_{k}=W_{k-1} \left( \cos \frac{2 \pi }{n} + i \sin \frac{2 \pi }{n} \right)}\)
zaoszczędzisz trochę czasu