Krotność zera funkcji holomorficznych

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 10 gru 2013, o 12:34

Określić krotność zera \(\displaystyle{ z_0=0}\) funkcji:
a) \(\displaystyle{ \cos^4z-1}\)
b) \(\displaystyle{ \cos z^4-1}\)
c) \(\displaystyle{ \sin^2z^5 \tan^3z^3}\)
d) \(\displaystyle{ (e^{z^3}-1-z^3)\sin^2z^7}\)

Proszę o sprawdzenie moich wyników:
a) 1
b) 4
c) 19
d) 14

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 10 gru 2013, o 12:41

Mam podejrzenia co do b) Jak liczyłeś

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 10 gru 2013, o 12:48

b) Widzę błąd, teraz jest dobrze?
\(\displaystyle{ f=\cos z^4-1}\)

\(\displaystyle{ f'=-\sin z^4\cdot 4z^3}\)
\(\displaystyle{ -\sin z^4}\) ma krotność 4
\(\displaystyle{ 4z^3}\) ma krotność 3
\(\displaystyle{ f'}\) ma krotność \(\displaystyle{ 4+3=7}\) więc f ma krotność 8

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 10 gru 2013, o 12:58

Polecam twierdzenie. Pierwiastek jest \(\displaystyle{ n-}\)-krotny, jeśli jest pierwiastkiem wielomianu i \(\displaystyle{ (n-1)}\) jego kolejnych pochodnych,ale ostatniej,już nie...

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 10 gru 2013, o 13:01

Tylko że wtedy trzeba liczyć n pochodnych, a nie zawsze jest na to czas na kole.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 10 gru 2013, o 13:02

Ale wystarczy policzyć dwie,a czasem mniej,aby się domyślić.

qwe771 · Post autor: **qwe771** » 11 gru 2013, o 05:05

a w b jak rozwiniesz to w szereg masz przecież \(\displaystyle{ 1 - \frac{z^8}{2} + ... - 1 = - \frac{z^8}{2} + ...}\), więc pierwszym wyrazem o niezerowej pochodnej jest ósmy wyraz, więc zero jest ośmiokrotne, idealne na kolosa, bo jeśli znasz rozwinięcia funkcji sinus cosinus e itp, to robisz takie zadanka w sekunde