Witam.
Mam takie równanie: \(\displaystyle{ z^3+8i=0}\). Robię tak:
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-8i}}\)
\(\displaystyle{ |z|=64}\)
\(\displaystyle{ w _{0}= \sqrt[3]{64}(\cos( \frac{ \frac{3 \pi }{2} }{3} )+i\sin \frac{ \frac{3 \pi }{2} }{3} )=4(\cos \frac{ \pi }{2} +i\sin \frac{ \pi }{2} )=4i}\)
Jednak 4i nie spełnia tego równania. Gdzie mam błąd?
Pozdrawiam
Równanie zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Równanie zespolone
a może jednak \(\displaystyle{ |z|=2}\)?
Ostatnio zmieniony 8 gru 2013, o 19:38 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Równanie zespolone
Moduł 2 wychodzi dla liczby z po spierwiastkowaniu, a przed mamy liczbę np. u, której moduł wynosi 8.
\(\displaystyle{ z^3+8i=0 \\
z^3 = -8i}\)
Niech: \(\displaystyle{ u = -8 i}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ |u| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8 \\
u = 8 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}\right) \\
z=\sqrt[3]{8 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2} \right)}}\)
No i dalej nie ma problemu, bo jest na to wzór odpowiedni (na pierwiastkowanie liczba zespolonych). I skoro pierwiastek 3 - stopnia, to muszą być 3 rozwiązania, a nie jedno, jak zostało tu wcześniej przytoczone.
\(\displaystyle{ z^3+8i=0 \\
z^3 = -8i}\)
Niech: \(\displaystyle{ u = -8 i}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ |u| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8 \\
u = 8 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}\right) \\
z=\sqrt[3]{8 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2} \right)}}\)
No i dalej nie ma problemu, bo jest na to wzór odpowiedni (na pierwiastkowanie liczba zespolonych). I skoro pierwiastek 3 - stopnia, to muszą być 3 rozwiązania, a nie jedno, jak zostało tu wcześniej przytoczone.
-
- Użytkownik
- Posty: 662
- Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 154 razy
Równanie zespolone
Ok, resztę rozumiem. Nie widziałem mojego błędu z tym modułem i tak się zastanawiałem co jest nie tak, dlatego podałem tylko ten 1 pierwiastek. Wszystko jasne, dzięki.