Równanie zespolone

[marek252]

Witam.
Mam takie równanie: \(\displaystyle{ z^3+8i=0}\). Robię tak:
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-8i}}\)
\(\displaystyle{ |z|=64}\)
\(\displaystyle{ w _{0}= \sqrt[3]{64}(\cos( \frac{ \frac{3 \pi }{2} }{3} )+i\sin \frac{ \frac{3 \pi }{2} }{3} )=4(\cos \frac{ \pi }{2} +i\sin \frac{ \pi }{2} )=4i}\)
Jednak 4i nie spełnia tego równania. Gdzie mam błąd?
Pozdrawiam

[oldj]

\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{0^2+(-8)^2} = 8}\)

[a4karo]

a może jednak \(\displaystyle{ |z|=2}\)?

[squared]

Moduł 2 wychodzi dla liczby z po spierwiastkowaniu, a przed mamy liczbę np. u, której moduł wynosi 8.

\(\displaystyle{ z^3+8i=0 \\
z^3 = -8i}\)
Niech: \(\displaystyle{ u = -8 i}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ |u| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8 \\
u = 8 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}\right) \\
z=\sqrt[3]{8 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2} \right)}}\)

No i dalej nie ma problemu, bo jest na to wzór odpowiedni (na pierwiastkowanie liczba zespolonych). I skoro pierwiastek 3 - stopnia, to muszą być 3 rozwiązania, a nie jedno, jak zostało tu wcześniej przytoczone.

[marek252]

Ok, resztę rozumiem. Nie widziałem mojego błędu z tym modułem i tak się zastanawiałem co jest nie tak, dlatego podałem tylko ten 1 pierwiastek. Wszystko jasne, dzięki.