rozkład na ułamki proste

[kalwi]

Podać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\displaystyle{ \CC}\) (bez wyznaczania wartości współczynników)

\(\displaystyle{ \frac{4z}{z^2-2jz+3}}\)

nad \(\displaystyle{ \RR}\) nie mam problemu, lecz tu nie wiem jak to powinno wyglądać

//edit:
czy to będzie po prostu tak?
\(\displaystyle{ \frac{A}{z+j} + \frac{B}{z-3j}}\)

[Premislav]

Tak powinno być dobrze.

[kalwi]

to fajnie. A teraz coś trudniejszego:

\(\displaystyle{ \frac{4z^2+1}{z^4-1}}\)

i tu mam skorzystać z:

Jeżeli \(\displaystyle{ g(z)=\left( z-z_1\right) \cdot .... \cdot \left( z-z_n\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) oraz \(\displaystyle{ z_1,...,z_n}\) są różnymi liczbami zespolonymi to współczynniki rozkładu \(\displaystyle{ \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{a_1}{z-z_1}+...+ \frac{a_n}{z-z_n}}\) wyrażają się wzorami \(\displaystyle{ a_i= \frac{f(z_i)}{g'(z_i)}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\)

mógłby ktoś sprawdzić czy jest dobrze zrobione?

\(\displaystyle{ \frac{4z^2+1}{z^4-1}= \frac{4z^2+1}{(z-1)(z+1)(z-j)(z+j)} = \frac{A}{z-1} +\frac{B}{z+1}+\frac{C}{z-j}+\frac{D}{z+j} \\ g'(z)=4z^3 \\ A= \frac{5}{4} \\ B= \frac{-5}{4} \\ C= \frac{-3}{-4j}= \frac{-3j}{4} \\ D= \frac{-3}{4j}= \frac{3j}{4}}\)