Pierwiastek drugiego stopnia liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
marek252
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 662
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 154 razy

Pierwiastek drugiego stopnia liczby zespolonej

Post autor: marek252 »

Witam.
Mamy obliczyć taki pierwiastek:
\(\displaystyle{ \sqrt{6+8i}}\)
Moje pytanie dotyczy głównie metody. Można to robić tak:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ x+yi=\sqrt{6+8i}/()^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2=6+8i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=6 \\ 2xy=8 \\ x^2+y^2= \sqrt{6^2+8^2} \end{cases}}\)
Pierwsze dwa równania w tym układzie wiem skąd się wzięły, ale trzecie nie. W trzecim po lewej stronie jest tak jakby \(\displaystyle{ z \cdot \overline{z}}\)

Natomiast prawa strona to \(\displaystyle{ |z|}\).
Ale moje rachunki dowodzą coś innego:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ z \cdot \overline{z}=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2 \neq \sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ z \cdot \overline{z} \neq |z|}\)
Gdzieś mam błąd? Skąd to trzecie równanie w tym układzie równań?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 7 gru 2013, o 16:13 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Sprzężenie to \overline{z}.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Pierwiastek drugiego stopnia liczby zespolonej

Post autor: chris_f »

Nie wiem skąd Ci się to wzięło, jest całkowicie zbędne. Nigdy nie spotkałem się z dodawaniem czegoś takiego do tego układu, który pozwala wyznaczyć pierwiastek. Zresztą poszukaj choćby tu na forum, są dziesiątki przykładów w których nigdy coś takiego się nie pojawiało.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Pierwiastek drugiego stopnia liczby zespolonej

Post autor: »

marek252 pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=6 \\ 2xy=8 \\ x^2+y^2= \sqrt{6^2+8^2} \end{cases}}\)
Można tak, ale trzecie równanie nie jest potrzebne - \(\displaystyle{ x,y}\) można wyznaczyć już z dwóch pierwszych.
Natomiast prawa strona to \(\displaystyle{ |z|}\).
Mylisz się, prawa strona to \(\displaystyle{ |z|^2}\). Przecież \(\displaystyle{ z^2=6+8i}\), czyli \(\displaystyle{ |z|^2= |6+8i|}\).

Q.
marek252
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 662
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 154 razy

Pierwiastek drugiego stopnia liczby zespolonej

Post autor: marek252 »

Dzięki. Ten pomysł ma przyspieszyć rozwiązywanie. Czasami wychodzi równanie 4 stopnia, więc tym sposobem jest szybciej. Jest on użyty w pewnym filmiku, prezentacji, z których korzysta wielu studentów.
Taki przykład:
\(\displaystyle{ z^2=-1}\)
\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2=-1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=-1 \\ 2xy=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee y=0}\)
\(\displaystyle{ y^2=1}\).................................................\(\displaystyle{ x^2=-1}\)
\(\displaystyle{ y=1 \vee y=-1}\)......................................\(\displaystyle{ x=i \vee x=-i}\)
I teraz pytanie czy w części rzeczywistej liczby zespolonej może być \(\displaystyle{ i}\)? Albo może zapisać to jako \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\)?
\(\displaystyle{ z=0+i \vee z=0-i \vee z=i+0 \vee z=-i+0}\)
Czy skoro tam wyszło \(\displaystyle{ x=i}\) to mam traktować tego x jako część urojoną?
kalwi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1931
Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 145 razy
Pomógł: 320 razy

Pierwiastek drugiego stopnia liczby zespolonej

Post autor: kalwi »

nie. \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\)
\(\displaystyle{ x=0 \wedge \left( y=1 \vee y=-1\right)}\)
ODPOWIEDZ