wyznaczyć pierwiastki do 5-tego stopnia włącznie oraz sumę tych pierwiastków
\(\displaystyle{ z=-1-7j}\)
no i jak widać promień wynosi\(\displaystyle{ \sqrt{50}}\), więc żadnego kąta nie uzyskam - jak to ugryźć?
pierwiastek piątego stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
pierwiastek piątego stopnia
Suma tych pierwiastków zawsze będzie wynosić \(\displaystyle{ 0}\).
A co do pierwiastków? To masz je wyznaczyć czy chodzi tylko o tę sumę?
A co do pierwiastków? To masz je wyznaczyć czy chodzi tylko o tę sumę?
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
pierwiastek piątego stopnia
To sprawa jest jasna. Suma wszystkich pierwiastków z liczby zespolonej zawsze będzie równa zero. Możesz to zobaczyć z interpretacji geometrycznej pierwiastków (tworzą zawsze wierzchołki odpowiedniego wielokąta foremnego i jak się doda wektory łączące początek układu z tymi wierzchołkami to dadzą wektor zerowy).
Z iloczynem sprawa jest jeszcze prostsza. Skorzystaj ze wzoru na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Tam mnoży się moduły i sumuje argumenty.
Z iloczynem sprawa jest jeszcze prostsza. Skorzystaj ze wzoru na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Tam mnoży się moduły i sumuje argumenty.
-
- Użytkownik
- Posty: 1931
- Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 145 razy
- Pomógł: 320 razy
pierwiastek piątego stopnia
nie widzę, jak to zrobić za pomocą iloczynu w postaci trygonometrycznej
A czy można tak zrobić?
\(\displaystyle{ t^5=-1-7j}\)
Pierwiastki 5-tego stopnia z 1: \(\displaystyle{ 1, w_1, w_2,w_3,w_4}\) i \(\displaystyle{ w_5=w_{10}=1}\)
Pierwiastki 5-tego stopnia z \(\displaystyle{ -1-7j: t,tw_1,tw_2,tw_3,tw_4}\)
suma:
\(\displaystyle{ t+tw_1+tw_2+tw_3+tw_4=t\left( 1+w_1+w_2+w_3+w_4\right) =0}\)
iloczyn:
\(\displaystyle{ t \cdot tw_1 \cdot tw_2 \cdot tw_3 \cdot tw_4=t^5 \cdot w_{10}=t^5=-1-7j}\)
w sumie nie jestem pewien, czy tak się z tego korzysta, bo tylko na wykładzie to miałem
A czy można tak zrobić?
\(\displaystyle{ t^5=-1-7j}\)
Pierwiastki 5-tego stopnia z 1: \(\displaystyle{ 1, w_1, w_2,w_3,w_4}\) i \(\displaystyle{ w_5=w_{10}=1}\)
Pierwiastki 5-tego stopnia z \(\displaystyle{ -1-7j: t,tw_1,tw_2,tw_3,tw_4}\)
suma:
\(\displaystyle{ t+tw_1+tw_2+tw_3+tw_4=t\left( 1+w_1+w_2+w_3+w_4\right) =0}\)
iloczyn:
\(\displaystyle{ t \cdot tw_1 \cdot tw_2 \cdot tw_3 \cdot tw_4=t^5 \cdot w_{10}=t^5=-1-7j}\)
w sumie nie jestem pewien, czy tak się z tego korzysta, bo tylko na wykładzie to miałem
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
pierwiastek piątego stopnia
Pierwiastki piątego stopnia spełniają oczywiście równaniekalwi pisze:wyznaczyć pierwiastki do 5-tego stopnia włącznie oraz sumę tych pierwiastków
\(\displaystyle{ z=-1-7j}\)
no i jak widać promień wynosi\(\displaystyle{ \sqrt{50}}\), więc żadnego kąta nie uzyskam - jak to ugryźć?
\(\displaystyle{ z^5+1+7i=0}\)
Ze wzorów Viete'a suma wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a iloczyn to \(\displaystyle{ (-1)^5(1+7i)}\).