pierwiastek piątego stopnia

[kalwi]

wyznaczyć pierwiastki do 5-tego stopnia włącznie oraz sumę tych pierwiastków
\(\displaystyle{ z=-1-7j}\)
no i jak widać promień wynosi\(\displaystyle{ \sqrt{50}}\), więc żadnego kąta nie uzyskam - jak to ugryźć?

[chris_f]

Suma tych pierwiastków zawsze będzie wynosić \(\displaystyle{ 0}\).
A co do pierwiastków? To masz je wyznaczyć czy chodzi tylko o tę sumę?

[kalwi]

wyznaczyć sumę i iloczyn pierwiastków

[chris_f]

To sprawa jest jasna. Suma wszystkich pierwiastków z liczby zespolonej zawsze będzie równa zero. Możesz to zobaczyć z interpretacji geometrycznej pierwiastków (tworzą zawsze wierzchołki odpowiedniego wielokąta foremnego i jak się doda wektory łączące początek układu z tymi wierzchołkami to dadzą wektor zerowy).
Z iloczynem sprawa jest jeszcze prostsza. Skorzystaj ze wzoru na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Tam mnoży się moduły i sumuje argumenty.

[kalwi]

nie widzę, jak to zrobić za pomocą iloczynu w postaci trygonometrycznej
A czy można tak zrobić?
\(\displaystyle{ t^5=-1-7j}\)
Pierwiastki 5-tego stopnia z 1: \(\displaystyle{ 1, w_1, w_2,w_3,w_4}\) i \(\displaystyle{ w_5=w_{10}=1}\)
Pierwiastki 5-tego stopnia z \(\displaystyle{ -1-7j: t,tw_1,tw_2,tw_3,tw_4}\)
suma:
\(\displaystyle{ t+tw_1+tw_2+tw_3+tw_4=t\left( 1+w_1+w_2+w_3+w_4\right) =0}\)
iloczyn:
\(\displaystyle{ t \cdot tw_1 \cdot tw_2 \cdot tw_3 \cdot tw_4=t^5 \cdot w_{10}=t^5=-1-7j}\)
w sumie nie jestem pewien, czy tak się z tego korzysta, bo tylko na wykładzie to miałem

[yorgin]

wyznaczyć pierwiastki do 5-tego stopnia włącznie oraz sumę tych pierwiastków
\(\displaystyle{ z=-1-7j}\)
no i jak widać promień wynosi\(\displaystyle{ \sqrt{50}}\), więc żadnego kąta nie uzyskam - jak to ugryźć?

Pierwiastki piątego stopnia spełniają oczywiście równanie

\(\displaystyle{ z^5+1+7i=0}\)

Ze wzorów Viete'a suma wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a iloczyn to \(\displaystyle{ (-1)^5(1+7i)}\).