Rozwiązać układ równań

[squared]

\(\displaystyle{ \begin{cases} z^3 + \overline{w}^7=0 \\ z^5w^{11}=1 \end{cases}}\)

Próbowałem zapisując liczby w postaci trygonometrycznej, udało mi się obliczyć argumenty tych liczb, ale to nie daje mi tych modułów tak wprost. Dwa metoda była kompletnie beznadziejna i rachunkowo, i metodologicznie. Może macie jakieś takie błyskotliwe sposoby na to?

[Lorek]

Jeśli pomnożymy drugie równanie przez \(\displaystyle{ z}\), to otrzymamy \(\displaystyle{ z^6w^{11}=z}\), a z kolei z pierwszego mamy \(\displaystyle{ z^6=(z^3)^2=(-\overline{w}^7)^2=\overline{w}^{14}}\). Łącząc otrzymujemy \(\displaystyle{ \overline{w}^{14}w^{11}=z}\) i wstawiamy takiego \(\displaystyle{ z}\) do pierwszego: \(\displaystyle{ (\overline{w}^{14}w^{11})^3+\overline{w}^7=0}\) .
To może wygląda strasznie, ale jak się poupraszcza (\(\displaystyle{ w\cdot \overline{w}=|w|^2}\)), to ładnie wychodzi.

[squared]

Hmmm, no nie bardzo umiem, dalej, bo
\(\displaystyle{ w^{33} \overline{w}^{42} + \overline{w}^{7}=0 \\
|w|^{33} \overline{w}^9 + \overline{w}^7 = 0}\)

No jedynie mogę przed nawias wyciągnąć \(\displaystyle{ \overline{w}^7}\) i tyle widzę. Nie umiem nic mądrzejszego zrobić, w sensie ładnych przekształceń.

[Lorek]

Po pierwsze źle przekształciłeś, po drugie skoro mogłeś wyłączyć \(\displaystyle{ \overline{w}^7}\) przed nawias, to znaczy, że masz już jedno rozwiązanie, a pozostałe będziesz miał jak przyrównasz drugi nawias do 0, przeniesiesz -1 na drugą stronę i skorzystasz z tego, że jak dwie liczby zespolone są sobie równe, to ich moduły też.