Rozwiąż równanie

[piotrekdoro]

Witam. mam problem z dwoma równaniami:
a) \(\displaystyle{ z^6=(1-i)^6}\)
Udało mi się tylko sprowadzić je do postaci \(\displaystyle{ z^6=8i}\) przy pomocy wzoru de Moivre'a
b) \(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+1)^4}\)
Tutaj podstawiłem \(\displaystyle{ x=z-i}\) oraz \(\displaystyle{ y=z+1}\). Przekształciłem równanie do postaci:
\(\displaystyle{ (x-y)(x+y)(x^2+y^2)=0}\)
\(\displaystyle{ (z-i-z-1)(z-i+z+1)((z-i)^2+(z+1)^2)=0}\)
\(\displaystyle{ (2-2i)(z- \frac{i-1}{2})(2z^2-2z(i-1))=0}\)
No i zaczynają się problemy. Mam wrażenie, że to równanie powinno mieć 4 rozwiązania, a z powyższych zapisów wynika, że mam szansę otrzymać tylko 3. Mimo to kontynuowałem.
Jedno z miejsc zerowych to \(\displaystyle{ z= \frac{i-1}{2}}\), pozostałe 2 można wyliczyć badając wielomian
\(\displaystyle{ (z-i)^2+(z+1)^2=2z^2-2z(i-1)}\) obliczam deltę: \(\displaystyle{ \Delta=4(i-1)^2=-8i}\)
Proszę o wykonanie lub wytłumaczenie jak doprowadzić do końca następny etap zadania:

Obliczam pierwiastek z delty szukając \(\displaystyle{ (a+bi)^2=8 i}\)
\(\displaystyle{ a-b+2abi=8i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a-b=0 \\ 2ab=8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=b \\ ab=4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a^2=4}\)
\(\displaystyle{ a=\left\{-2,2 \right\}}\), \(\displaystyle{ b=\left\{ -2,2\right\}}\)
W tym momencie nie wiem które wartości a i b mam odrzucić i czy w ogóle mam to zrobić. Zarówno a jak i b są ujemne lub a i b są dodatnie, wiec pierwszy układ równań wydaje się być spełniony w obu przypadkach.

-- 3 gru 2013, o 16:30 --

Temat zamknięty, znalazłem błąd.