Znalesc wszystkie...

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kub2a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 22 lut 2007, o 16:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mikołów
Podziękował: 1 raz

Znalesc wszystkie...

Post autor: kub2a »

Znaleść szystkie liczby zesopolone dla których \(\displaystyle{ \overline{Z}=Z^2}\)
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Znalesc wszystkie...

Post autor: kuch2r »

Niech:
\(\displaystyle{ z=x+iy\leftarrow (x,y)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x-iy=x^2-y^2+2xyi}\)
Otrzymujemy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=x^2-y^2\\-y=2xy\end{cases}}\)
Rozwazmy drugie rownanie:
\(\displaystyle{ -y=2xy\\2xy+y=0\\y(2x+1)=0\\y=0\ \ x=-\frac{1}{2}}\)

Dla \(\displaystyle{ y=0}\)
Otrzymujemy z pierwszego rownania, ze:
\(\displaystyle{ x=x^2\\x=0 \ \ x=1}\)


Dla \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y^2=\frac{3}{4}\\y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Szukane liczby, to:
\(\displaystyle{ (0,0),(1,0),(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})}\)
ODPOWIEDZ