Znalesc wszystkie...
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 22 lut 2007, o 16:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mikołów
- Podziękował: 1 raz
Znalesc wszystkie...
Znaleść szystkie liczby zesopolone dla których \(\displaystyle{ \overline{Z}=Z^2}\)
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Znalesc wszystkie...
Niech:
\(\displaystyle{ z=x+iy\leftarrow (x,y)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x-iy=x^2-y^2+2xyi}\)
Otrzymujemy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=x^2-y^2\\-y=2xy\end{cases}}\)
Rozwazmy drugie rownanie:
\(\displaystyle{ -y=2xy\\2xy+y=0\\y(2x+1)=0\\y=0\ \ x=-\frac{1}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ y=0}\)
Otrzymujemy z pierwszego rownania, ze:
\(\displaystyle{ x=x^2\\x=0 \ \ x=1}\)
Dla \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y^2=\frac{3}{4}\\y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Szukane liczby, to:
\(\displaystyle{ (0,0),(1,0),(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy\leftarrow (x,y)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x-iy=x^2-y^2+2xyi}\)
Otrzymujemy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=x^2-y^2\\-y=2xy\end{cases}}\)
Rozwazmy drugie rownanie:
\(\displaystyle{ -y=2xy\\2xy+y=0\\y(2x+1)=0\\y=0\ \ x=-\frac{1}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ y=0}\)
Otrzymujemy z pierwszego rownania, ze:
\(\displaystyle{ x=x^2\\x=0 \ \ x=1}\)
Dla \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y^2=\frac{3}{4}\\y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Szukane liczby, to:
\(\displaystyle{ (0,0),(1,0),(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})}\)