Rysowanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
jedrek124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wroc

Rysowanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie

Post autor: jedrek124 »

Witam, mam 2 pytanka

a) dlaczego \(\displaystyle{ arg(i)= \frac{ \pi }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ arg(-1)= \pi}\), czy tutaj chodzi o to na której osi układu współrzędnych położony jest ten punkt?
b)jak prawidłowo rozwiazać przykład \(\displaystyle{ 0<arg(z^{3}< \pi}\)
Wiem że należy skorzystać z odpowiedniego wzoru na \(\displaystyle{ arg( z^{n}=...}\)
Ja zrobiłbym to tak:
\(\displaystyle{ 0<3arg(z)+2k \pi < \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{0-2k \pi }{3}<arg(z)< \frac{ \pi -2k \pi }{3}}\)
i tu zaczyna się problem, ponieważ na przykładzie który mam zrobiony w zeszycie występuje \(\displaystyle{ +2k \pi}\) a nie \(\displaystyle{ -2k \pi}\) a co za tym idzie same wyniki też są inne. Mógłby ktoś mi wyjaśnić jakim cudem pojawia się tam +? W innym, przykładzie dotyczącego \(\displaystyle{ arg(-z)= \frac{ \pi }{4}}\) w momencie kiedy z odpowiednich wzorów doszliśmy do \(\displaystyle{ arg(z)=- \frac{3 \pi }{4} -2k \pi}\)
Wykładowca za \(\displaystyle{ k}\) podstawił sobie \(\displaystyle{ -1}\), przez co samo \(\displaystyle{ 2k \pi}\) było dodatnie. Czy w takim wypadku mam rozumieć że za k możemy podstawiać liczby albo dodatnie albo ujemne, z zależnośći od tego jaki znak mamy przy \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
Ostatnio zmieniony 1 gru 2013, o 19:19 przez jedrek124, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

Rysowanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie

Post autor: waliant »

a) narysuj sobie - pamiętaj, że \(\displaystyle{ i}\) leży na osi \(\displaystyle{ OY}\)
b) po wszystkim powinno być napisane do czego należy \(\displaystyle{ k}\), tutaj zazwyczaj należy do liczb całkowitych więc nie ma różnicy czy jest \(\displaystyle{ +2k \pi}\)czy \(\displaystyle{ -2k \pi}\)
Awatar użytkownika
qwe771
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 317
Rejestracja: 19 lis 2013, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 94 razy

Rysowanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie

Post autor: qwe771 »

a) narysuj sobie liczbę \(\displaystyle{ i}\) na układzie wsp. Jeśli teraz wezmiesz kąt skierowany zaczynający się na dodatniej półosi rzeczywistej a kończący na osi \(\displaystyle{ Oi}\) bedziesz miał kąt \(\displaystyle{ 90}\) stopni czyli \(\displaystyle{ 0,5 \pi}\)

teraz jak narysujesz \(\displaystyle{ -1}\) to kąt skierowany między dodatnią półosią rzeczywistą a półosią na której leży \(\displaystyle{ -1}\) czyli ujemna półosią rzeczywistą to kąt półpełny czyli \(\displaystyle{ \pi}\)
jedrek124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wroc

Rysowanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie

Post autor: jedrek124 »

waliant pisze:a) narysuj sobie - pamiętaj, że \(\displaystyle{ i}\) leży na osi \(\displaystyle{ OY}\)
b) po wszystkim powinno być napisane do czego należy \(\displaystyle{ k}\), tutaj zazwyczaj należy do liczb całkowitych więc nie ma różnicy czy jest \(\displaystyle{ +2k \pi}\)czy \(\displaystyle{ -2k \pi}\)
czyli mam rozumieć że gdy k należy do całkowitych to dla własnej wygody możemy sobie przemnożyć przez - 1 tak?
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

Rysowanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie

Post autor: waliant »

możesz po prostu zamiast \(\displaystyle{ -2k \pi}\) napisać \(\displaystyle{ +2k \pi}\), różnicy w wyniku nam to nie zrobi.
ODPOWIEDZ