L.zespolone w układzie prostokątnym oraz obliczenie wartości

[wyrkens]

Zadanie 1. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz liczby \(\displaystyle{ z=−2+3i, w=−3i, u = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{ \pi }{6}+i \cdot \sin \frac{ \pi }{6} \right) }\), a następnie oblicz: \(\displaystyle{ \frac{w}{z} \cdot u^{7} }\) (wynik zapisz w postaci \(\displaystyle{ a + i \cdot b, a, b \in \RR}\)). Czy a i b są liczbami wymiernymi?

Z zaznaczeniem liczb z i w nie mam problemu, to proste
Mianowicie chciałbym, aby ktoś sprawdził moje obliczenia, poprawił i wytłumaczył moje błędy
więc zacznijmy od wyznaczenia \(\displaystyle{ u}\) tak wiec: \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{6}= \frac{1}{2}, \sin \frac{ \pi }{6}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i czy mogę tak prosto odczytać wartości \(\displaystyle{ a=1, b=\sqrt{3}}\) i napisać, że \(\displaystyle{ u=1+ \sqrt{3}i}\). Jednak wątpię w to co napisałem, mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak przejść z postaci trygonometrycznej do algebraicznej lub jak szybko zaznaczyć w układzie liczbę w postaci trygonometrycznej ?

[Gouranga]

po co ci postać algebraiczna liczby u?
odmierz kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) i od początku układu odmierzasz na tym kącie odległość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

ew. inaczej
\(\displaystyle{ \sin\varphi = \frac{\Im(z)}{|z|}\\
\cos\varphi = \frac{\Re(z)}{|z|}}\)

[wyrkens]

czyli bez liczenia ? rozwiązanie graficzne, narysować kąt \(\displaystyle{ 30 ^{o}}\) i odmierzyć linijką od pkt(0,0), 0,5 cm ? jak dokładnie odmierzyć 30 na układzie na kratkach ? a po drugie żeby policzyć wg podanych wzorów trzeba mieć tę liczbę zespoloną czyli w Twoim wzorze "z", a w moim "u"

[Gouranga]

nie robisz zadań z geometrii wykreślnej, rysunki się robi poglądowe (na oko)
a poza tym do czego ci do zadania u w postaci algebraicznej ? masz ją podnieść do siódmej potęgi przecież

[wyrkens]

jak zrobię na kolokwium poglądowy rysunek to raczej mi nie zaliczy w treści jest zaznacz, wiec raczej trzeba dokładnie
a do siódmej:
\(\displaystyle{ u= \left( \frac{1}{2} \right) ^{7} \cdot \left( \cos \frac{7 \pi }{6}+i \cdot \sin \frac{7 \pi }{6} \right) = \frac{1}{128} \cdot \left( -\frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}i \right) = - \frac{1}{256}i- \frac{ \sqrt{3} }{256}}\)
dobrze policzyłem ?

[Gouranga]

źle
pierwszy w nawiasie jest cosinus, nie sinus

[wyrkens]

źle
pierwszy w nawiasie jest cosinus, nie sinus

to chyba tylko literówka

[Gouranga]

teraz jest ok nie licząc faktu, że symbol mnożenia to cdot i że nie skalujesz nawiasów
ale merytorycznie ok

[wyrkens]

a jeszcze byś mi pomógł jak mam to narysować
W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz wszystkie liczby należące do zbioru
\(\displaystyle{ \{z \in C : 1 < |z − 1 − 2i| < 2\}.}\)
wiem, że to raczej jakieś koło będzie bez środka chyba ale nw jak sie zabrać za ten środek ||
\(\displaystyle{ |x+yi-2i-1|=}\)

[Gouranga]

\(\displaystyle{ |z - 1 - 2i| = |x + yi - 1 + 2i| = |x-1 + i(y+2)|}\)
czyli pierścień bez brzegów wyznaczony kołami
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + (y+2)^2 > 1\\
(x-1)^2 + (y+2)^2 < 2}\)