Witam.
W związku z moim sobotnim kolokwium ustnym a algebry nurtuje mnie pewne pytanie mianowicie
1. Znajdź wszystkie skończone multiplikatywne podgrupy ciała liczb zespolonych.
Wiem, że zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki wyczerpuje skończone podgrupy ciała zespolaków, ale mam problemy z uzasadnieniem tej kwestii w związku z tym zwracam się do was o pomoc.
Podgrupy ciała liczb zespolonych
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Podgrupy ciała liczb zespolonych
1. Zastanów się, czy w takiej podgrupie może istnieć liczba o module różnym od 1.
2. Zastanów się czy może istnieć liczba o argumencie niebędącym postaci \(\displaystyle{ q\cdot \pi, q\in\mathbb{Q}}\).
2. Zastanów się czy może istnieć liczba o argumencie niebędącym postaci \(\displaystyle{ q\cdot \pi, q\in\mathbb{Q}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 27 lis 2013, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 2 razy
Podgrupy ciała liczb zespolonych
Domyślam się, że nie mogą i stąd wynika kandydatura pierwiastków z jedynki. Tylko jak uzasadnić, że nie mogą. Trochę nie ogarniam.
Edit
Czy chodzi o to, że jeżeli wezmę liczbę zespoloną z modułem \(\displaystyle{ \neq 1}\) to moja podgrupa nigdy nie będzie zamknięta ze względu na działanie bo np.wymnożenie liczb da mi liczbę spoza podgrupy?
Edit
Czy chodzi o to, że jeżeli wezmę liczbę zespoloną z modułem \(\displaystyle{ \neq 1}\) to moja podgrupa nigdy nie będzie zamknięta ze względu na działanie bo np.wymnożenie liczb da mi liczbę spoza podgrupy?
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 28 maja 2013, o 12:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 4 razy
Podgrupy ciała liczb zespolonych
A ja chciałabym jeszcze zapytać o skończone podgrupy grupy liczb zespolonych o module 1. Oznaczmy tę grupę roboczo \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\)
Wiem, że taka grupa jest z kolei podgrupą multiplikatywnej grupy liczb zespolonych różnych od zera.
Było to kiedyś pokazane w tym wątku --> 31633.htm
Działanie w obu grupach polega na zwykłym mnożeniu liczb zespolonych.
Nie bardzo potrafię sobie wyobrazić taką skończoną podgrupę grupy \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\). Byłabym wdzięczna za przykłady.
Grupy cykliczne postaci: zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia n z działaniem mnożenia ( modulo n) nie są podgrupami grupy \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\), prawda ?
Prośba o wyjaśnienie i pomoc.-- 7 lip 2016, o 21:40 --Chwileczkę...gdy biorę sobie pierwiastki czwartego stopnia z jedynki czyli zbiór: \(\displaystyle{ \left\{ 1,i,-i,1\right\}}\) i po kolei liczę to wychodzi mi na to, że jest on zamknięty na zwykłe mnożenie liczb zespolonych. Dodatkowo posiada taki sam element neutralny, co moja robocza grupa \(\displaystyle{ \left\{ A, \cdot \right\}}\) ,czyli \(\displaystyle{ e=1}\).
I ten zbiór również zamknięty jest na branie odwrotności.
Hmmm czyli grupy zbudowane w ten sposób: (zbiór wszystkich pierwiastków jedynki ztopnia \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ \cdot )}\) są podgrupami skończonymi grupy \(\displaystyle{ \left\{ A, \cdot \right\}}\) tak ?
Po co wyróżnia się jeszcze te grupy cykliczne z mnożeniem modulo?
Wiem, że taka grupa jest z kolei podgrupą multiplikatywnej grupy liczb zespolonych różnych od zera.
Było to kiedyś pokazane w tym wątku --> 31633.htm
Działanie w obu grupach polega na zwykłym mnożeniu liczb zespolonych.
Nie bardzo potrafię sobie wyobrazić taką skończoną podgrupę grupy \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\). Byłabym wdzięczna za przykłady.
Grupy cykliczne postaci: zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia n z działaniem mnożenia ( modulo n) nie są podgrupami grupy \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\), prawda ?
Prośba o wyjaśnienie i pomoc.-- 7 lip 2016, o 21:40 --Chwileczkę...gdy biorę sobie pierwiastki czwartego stopnia z jedynki czyli zbiór: \(\displaystyle{ \left\{ 1,i,-i,1\right\}}\) i po kolei liczę to wychodzi mi na to, że jest on zamknięty na zwykłe mnożenie liczb zespolonych. Dodatkowo posiada taki sam element neutralny, co moja robocza grupa \(\displaystyle{ \left\{ A, \cdot \right\}}\) ,czyli \(\displaystyle{ e=1}\).
I ten zbiór również zamknięty jest na branie odwrotności.
Hmmm czyli grupy zbudowane w ten sposób: (zbiór wszystkich pierwiastków jedynki ztopnia \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ \cdot )}\) są podgrupami skończonymi grupy \(\displaystyle{ \left\{ A, \cdot \right\}}\) tak ?
Po co wyróżnia się jeszcze te grupy cykliczne z mnożeniem modulo?