Podgrupy ciała liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
adam1407
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 27 lis 2013, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

Podgrupy ciała liczb zespolonych

Post autor: adam1407 »

Witam.

W związku z moim sobotnim kolokwium ustnym a algebry nurtuje mnie pewne pytanie mianowicie

1. Znajdź wszystkie skończone multiplikatywne podgrupy ciała liczb zespolonych.

Wiem, że zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki wyczerpuje skończone podgrupy ciała zespolaków, ale mam problemy z uzasadnieniem tej kwestii w związku z tym zwracam się do was o pomoc.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Podgrupy ciała liczb zespolonych

Post autor: Lorek »

1. Zastanów się, czy w takiej podgrupie może istnieć liczba o module różnym od 1.
2. Zastanów się czy może istnieć liczba o argumencie niebędącym postaci \(\displaystyle{ q\cdot \pi, q\in\mathbb{Q}}\).
adam1407
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 27 lis 2013, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

Podgrupy ciała liczb zespolonych

Post autor: adam1407 »

Domyślam się, że nie mogą i stąd wynika kandydatura pierwiastków z jedynki. Tylko jak uzasadnić, że nie mogą. Trochę nie ogarniam.

Edit

Czy chodzi o to, że jeżeli wezmę liczbę zespoloną z modułem \(\displaystyle{ \neq 1}\) to moja podgrupa nigdy nie będzie zamknięta ze względu na działanie bo np.wymnożenie liczb da mi liczbę spoza podgrupy?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Podgrupy ciała liczb zespolonych

Post autor: Lorek »

Jak najbardziej może być zamknięta, tylko ani w jednym ani w drugim przypadku nie będzie skończona.
boski_login
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 28 maja 2013, o 12:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 4 razy

Podgrupy ciała liczb zespolonych

Post autor: boski_login »

A ja chciałabym jeszcze zapytać o skończone podgrupy grupy liczb zespolonych o module 1. Oznaczmy tę grupę roboczo \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\)

Wiem, że taka grupa jest z kolei podgrupą multiplikatywnej grupy liczb zespolonych różnych od zera.
Było to kiedyś pokazane w tym wątku --> 31633.htm

Działanie w obu grupach polega na zwykłym mnożeniu liczb zespolonych.

Nie bardzo potrafię sobie wyobrazić taką skończoną podgrupę grupy \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\). Byłabym wdzięczna za przykłady.

Grupy cykliczne postaci: zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia n z działaniem mnożenia ( modulo n) nie są podgrupami grupy \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\), prawda ?

Prośba o wyjaśnienie i pomoc.-- 7 lip 2016, o 21:40 --Chwileczkę...gdy biorę sobie pierwiastki czwartego stopnia z jedynki czyli zbiór: \(\displaystyle{ \left\{ 1,i,-i,1\right\}}\) i po kolei liczę to wychodzi mi na to, że jest on zamknięty na zwykłe mnożenie liczb zespolonych. Dodatkowo posiada taki sam element neutralny, co moja robocza grupa \(\displaystyle{ \left\{ A, \cdot \right\}}\) ,czyli \(\displaystyle{ e=1}\).
I ten zbiór również zamknięty jest na branie odwrotności.

Hmmm czyli grupy zbudowane w ten sposób: (zbiór wszystkich pierwiastków jedynki ztopnia \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ \cdot )}\) są podgrupami skończonymi grupy \(\displaystyle{ \left\{ A, \cdot \right\}}\) tak ?

Po co wyróżnia się jeszcze te grupy cykliczne z mnożeniem modulo?
ODPOWIEDZ