Wyznaczanie części urojonej z wyrażenia

[black]

Mam taką nierówność
\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{1}{z} \right) > \Im(i \cdot z)}\)
i teraz pierwsza część jest dla mnie oczywista, i wyjdzie tam \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) po prostu, natomiast w drugiej...
\(\displaystyle{ \Im(i(x+yi))}\)
\(\displaystyle{ \Im(xi+yi^2)}\)
\(\displaystyle{ \Im(xi-y)}\)
\(\displaystyle{ x}\)

Więc będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} > x}\)
tak? Z tego co robiliśmy na ćwiczeniach wyszło \(\displaystyle{ -y}\) dlatego nie wiem :s

[oldj]

Jeśli \(\displaystyle{ z=x+yi}\) , to:

\(\displaystyle{ \Im(i \cdot z) = x}\) , wyszło Ci dobrze.
Z kolei źle policzyłeś lewą stronę nierówności :
\(\displaystyle{ \frac{1}{z} = \frac{1}{x+yi} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}}\) , zatem \(\displaystyle{ \Re \left( \frac{1}{z} \right) = \frac{x}{x^2+y^2}}\)

Zatem nierówność przyjmuje postać : \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+y^2} > x}\)

[black]

Jeśli \(\displaystyle{ z=x+yi}\) , to:

\(\displaystyle{ \Im(i \cdot z) = x}\) , wyszło Ci dobrze.
Z kolei źle policzyłeś lewą stronę nierówności :
\(\displaystyle{ \frac{1}{z} = \frac{1}{x+yi} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}}\) , zatem \(\displaystyle{ \Re \left( \frac{1}{z} \right) = \frac{x}{x^2+y^2}}\)

Zatem nierówność przyjmuje postać : \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+y^2} > x}\)

Skąd wyszło, albo bardziej "dlaczego"
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+yi} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}}\)

[oldj]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+yi} = \frac{1}{x+yi} \cdot \frac{x-yi}{x-yi} = \frac{x-yi}{(x+yi)(x-yi)} = \frac{x-yi}{x^2-y^2i^2} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}}\)

To standardowy sposób, podobnie robi się np. usuwanie niewymierności z mianownika.
To co Ty pisałeś nie jest prawdą, bo liczba zespolona była w mianowniku.

[black]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+yi} = \frac{1}{x+yi} \cdot \frac{x-yi}{x-yi} = \frac{x-yi}{(x+yi)(x-yi)} = \frac{x-yi}{x^2-y^2i^2} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}}\)

To standardowy sposób, podobnie robi się np. usuwanie niewymierności z mianownika.
To co Ty pisałeś nie jest prawdą, bo liczba zespolona była w mianowniku.

Super, dzięki wielkie, nie wiedziałem po prostu że liczba zespolona nie może być w mianowniku
Wykres tej nierówności jest zabójczy :s

[oldj]

Super, dzięki wielkie, nie wiedziałem po prostu że liczba zespolona nie może być w mianowniku

liczba zespolona może być w mianowniku (z wyjątkiem zera), tylko chodzi o to, że z postaci, gdy jest w mianowniku, nie jesteśmy w stanie bezpośrednio 'odczytać' \(\displaystyle{ \Re}\) i \(\displaystyle{ \Im}\)

[black]

Super, dzięki wielkie, nie wiedziałem po prostu że liczba zespolona nie może być w mianowniku

liczba zespolona może być w mianowniku (z wyjątkiem zera), tylko chodzi o to, że z postaci, gdy jest w mianowniku, nie jesteśmy w stanie bezpośrednio 'odczytać' \(\displaystyle{ Re}\) i \(\displaystyle{ Im}\)

Rozumiem, wszystko już raczej jasne

Może mi ktoś teraz pomoże narysować wykres tej funkcji? a konkretniej w toku rozumowania przy rysowaniu

\(\displaystyle{ \frac{x}{(x^2+y^2)}>x}\)
Mianownik ma coś wspólnego z okręgiem o punkcie (0,0), powinno się to rostrzygnąc dla \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ x<0}\)