Na płaszczyznie zespolonej narysowac zbior liczb

[ZaKooN]

d) \(\displaystyle{ \Re \left( \frac{1}{z} \right) >\Im(iz)}\)

[chris_f]

Standardowo. Oznaczamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wtedy
\(\displaystyle{ \Re\left(\frac1z\right)>\Im(iz)}\)
\(\displaystyle{ \Re\left(\frac{1}{x+iy}\right)>\Im(i(x+iy))}\)
\(\displaystyle{ \Re\left(\frac{x-iy}{x^2+y^2}\right)>\Im(ix-y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+y^2}>x}\)
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) nierówność nie jest spełniona, dlatego możemy bezpiecznie podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2}>1}\)
\(\displaystyle{ 1>x^2+y^2}\)
otrzymujemy zatem wnętrze koła o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), z usuniętą częścią osi \(\displaystyle{ Oy}\) (tam, gdzie \(\displaystyle{ x=0}\), czyli pionową średnicą).

[ZaKooN]

A co jeżeli chodzi o ten przykład??

\(\displaystyle{ 0 < \arg(-z) < \frac{2 \pi }{3}}\)

[chris_f]

Tu skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ Arg(-z)=Arg\left((-1)\cdot z\right)=Arg(-1)+Arg(z)=\pi+Arg(z)}\).
Wtedy Twoja nierówność przyjmie postać
\(\displaystyle{ 0<\pi+Arg(z)<\frac{2\pi}{3}}\)
czyli
\(\displaystyle{ -\pi<Arg(z)<-\frac{\pi}{3}}\)
Czyli zaznaczasz liczby zespolone leżące we wnętrzu kąta od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{3}}\).

[ZaKooN]

kuurde pomylilem przyklady...

argument z ma być ze sprzezeniem

\(\displaystyle{ 0 < \arg(z) < \frac{2 \pi }{3}}\)

[chris_f]

Czyli chodzi o \(\displaystyle{ Arg(\bar{z})}\)?
To skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ Arg(\bar{z})=-Arg(z)}\) i poprowadź rozumowanie w analogiczny sposób.
\(\displaystyle{ 0<Arg(\bar{z})<\frac{2\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ 0<-Arg(z)<\frac{2\pi}{3}}\)
No i teraz pomyśl co się stanie, jak pozbędziesz się tego minusa (tzn. pomnożysz wszystkie strony nierówności przez \(\displaystyle{ -1}\)). Też dostaniesz wnętrze pewnego kąta, a jakiego, to chyba policzysz.

[ZaKooN]

Czyli bedzie to wygladalo tak?

[chris_f]

Zgadza się.

[peters294]

U nas zostały podane takie wzory:

\(\displaystyle{ Arg(\bar{z})=2 \pi -Arg(z)}\)
\(\displaystyle{ Arg(\frac{1}{z} )=2 \pi -Arg(z)}\)

\(\displaystyle{ Arg(-z)= \begin{cases} Arg(z)+\pi ,\ gdy\ 0 \le Arg(z) < \pi \\Arg(z)-\pi ,\ gdy\ \pi \le Arg(z) < 2\pi \end{cases}}\)

[chris_f]

To jest dokładnie to samo, dodanie do argumentu \(\displaystyle{ 2\pi}\) nic nie zmienia. Podobnie w drugim przypadku.
Do argumentu możemy dodawać dowolną wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\). Nie wiem co sobie głowę zaprzątać różnymi (dosyć dziwnymi) wzorami, np. wystarczy znać wzór \(\displaystyle{ Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)}\)
i z niego wynikają te szczególne przypadki.
\(\displaystyle{ Arg\left(\frac{1}{z}\right)=Arg(1)-Arg(z)=0-Arg(z)=-Arg(z)}\)
lub jak kto woli
\(\displaystyle{ Arg\left(\frac{1}{z}\right)=Arg(1)-Arg(z)=2\pi-Arg(z)}\)