Rownania, funkcje, plaszczyzna

[Haroth]

Witam. Bardzo proszę o pomoc w kilku przykładach
1. Naszkicować \(\displaystyle{ \arg(z ^{3})< \frac{ \pi }{2}}\)
wiem, że arg będzie mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) ale jak mam narysować coś mniejszego od kąta \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\)?
2. \(\displaystyle{ (1+i \sqrt{3}) ^{3} \cdot ( \sqrt{3}-i) ^{6} \cdot z=(1+i) ^{12}}\)
Te 3 liczby zespolone dają kolejno \(\displaystyle{ -8, -64, -64}\) a w odp mam, że \(\displaystyle{ z=-\frac{1}{8}i}\). Skąd wzięło się to "i"?
3. \(\displaystyle{ \sqrt[4]{(2-2i) ^{12} }}\)
Ile elementów ma ten zbiór i czemu tyle?
4. \(\displaystyle{ (z-1) ^{4}= \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
Domyślam się, że trzeba zapisać obie strony za pomocą postaci trygonometrycznej jednak nie wiem jak to zrobić z lewą stroną.
Nawet jeżeli będzie problem z którymś zadaniem to będę wdzięczny za resztę

[yorgin]

Zad 1. 348281.htm

Zad 2. Możliwe, że błąd w odpowiedziach.

Zad 3. 349037.htm

Zad 4. Spierwiastkuj od razu tak, by po lewej było \(\displaystyle{ z-1}\).

[Haroth]

Dziekuję za zadanie 2 i 4 Co do reszty mam jeszcze małe pytanie.
1. W podanym temacie występuje przedział od 0 do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) więc to można normalnie narysować na płaszczyźnie. Jednak w moim zadaniu nie ma ograniczenia z jednej strony więc jak mam to narysować?
3. Mam doprowadzić do postaci
\(\displaystyle{ z ^{4}=[(2-2i) ^{3}] ^{4}}\)
więc istnieją 4 pierwiastki?

[yorgin]

1. Przydałoby się faktycznie ustalić dolną granicę dla argumentu. Bez niego cała płaszczyzna może być dobra. Chyba że przez \(\displaystyle{ \arg}\) rozumiemy argument główny, to wtedy mamy narzucony przedział wartości - tutaj są różne konwencje: \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) albo \(\displaystyle{ [-pi,pi)}\).

3. Tak.

[Haroth]

Argument napisany jest z małej litery więc albo nie chodzi o główny albo błąd w treści. Dzięki raz jeszcze