Równania , macierze w liczbach zespolonych

fazi2007 · Post autor: **fazi2007** » 20 lis 2013, o 20:59

\(\displaystyle{ z^{3} + 2i z^{2} + z + 12i = -iz^{2} - 3z}\)

doszedłem w tym przykładzie do postaci:
\(\displaystyle{ (z + 3i)(z^{2} + 4)}\)

może ktoś dalej powiedzieć co zrobić ?

i następny przykład macierze..
Wyznacz wszystkie wartości z spełniające warunek:

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc} 0& 0 & 0 & z \\ 0 & z & 1 & 1\\ 0 & 0 & z & i \\ i & 2 & 0 & 1\end{array}\right| =8, z\in \CC}\)

* Tytuł miał nieco inaczej brzmieć..

kerajs · Post autor: **kerajs** » 21 lis 2013, o 11:10

\(\displaystyle{ (z + 3i)(z^{2} + 4) =0}\)
\(\displaystyle{ z + 3i=0 \vee z^{2} + 4 =0}\)
\(\displaystyle{ z =- 3i \vee z^{2} =-4}\)
\(\displaystyle{ z =- i3 \vee z =i2\vee z =-i2}\)

Wyznacznik:
\(\displaystyle{ -iz ^{3}=8}\)
\(\displaystyle{ z ^{3}=i8}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{i8}}\)
Tu będziesz miał trzy rozwiązania. Umiesz pieriastkować liczbę zespoloną?

\(\displaystyle{ z =- i2 \vee z = \sqrt{3} +i\vee z =- \sqrt{3} +i}\)

fazi2007 · Post autor: **fazi2007** » 22 lis 2013, o 17:39

Czy podając wyznacznik nie popełniłeś błędu przenosząc to i ?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 25 lis 2013, o 12:03

Wyznacznik liczyłem tak:
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc} 0& 0 & 0 & z \\ 0 & z & 1 & 1\\ 0 & 0 & z & i \\ i & 2 & 0 & 1\end{array}\right| =i \cdot \left( -1\right) ^{4+1} \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & z \\ z & 1 & 1\\ 0 & z & i \end{array}\right| =-i \cdot z \cdot \left( -1\right) ^{1+3} \left| \begin{array}{cc} z & 1 \\ 0 & z \end{array}\right| =}\)
\(\displaystyle{ =-i \cdot z \cdot \left( z \cdot z-1 \cdot 0\right) =-iz ^{3}}\)

W równaniu:
\(\displaystyle{ -iz ^{3}=8}\)
obie strony mnożyłem przez i
\(\displaystyle{ -iz ^{3} \cdot i=8 \cdot i}\)
\(\displaystyle{ -i ^{2} z ^{3}=8 \cdot i}\)
\(\displaystyle{ -\left( -1\right) z ^{3}=8 \cdot i}\)
\(\displaystyle{ z ^{3}=i8}\)

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 25 lis 2013, o 12:22

kerajs, chodziło chyba o to, że błędnie piszesz \(\displaystyle{ i}\) przed liczbą
przykładowo \(\displaystyle{ -i3}\) to błędny zapis, poprawny to \(\displaystyle{ -3i}\)

kerajs · Post autor: **kerajs** » 25 lis 2013, o 14:30

Ponieważ nie wiedziałem o które ,,i' chodziło autorowi tematu to rozpisałem miejsca w których (wg mnie) mógłby mieć jakieś wątpliwości.

Gouranga pisze:kerajs, chodziło chyba o to, że błędnie piszesz \(\displaystyle{ i}\) przed liczbą
przykładowo \(\displaystyle{ -i3}\) to błędny zapis, poprawny to \(\displaystyle{ -3i}\)

Pisanie ,,i' przed wartością jest nie tylko poprawne ale i sensowniejsze, gdyż wyraźnie wskazuje na urojoność danej liczby (Zresztą sama postać liczby zespolonej to ,,a+ib' a nie ,,a+bi'). Jednakże kanon ,,wpierw cyferki, potem literki' jest tak mocno zakorzeniony że zapisy \(\displaystyle{ -3i, -i3, +i\left( -3\right)}\) zwykle traktowane są równorzędnie.
Więc formalnie zamiast \(\displaystyle{ -i3}\) powinno być \(\displaystyle{ i\left( -3\right)}\)

Ps. Takim najbardziej (przynajmniej mnie) rażącym przykładem nadużywania powyższej regułki jest pisanie w trygonometrii \(\displaystyle{ 2k \pi}\) zamiast \(\displaystyle{ k2 \pi}\)

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 25 lis 2013, o 15:37

kerajs, nie wiem na którym uniwersytecie cię tak nauczyli, ale mnie na gdańskim zawsze uczono pisać \(\displaystyle{ i}\) po liczbach (generalnie nam próbowali wmówić że jednostka urojona to \(\displaystyle{ j}\) ale to już inna bajka)

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 25 lis 2013, o 15:39

Gouranga pisze:kerajs, nie wiem na którym uniwersytecie cię tak nauczyli, ale mnie na gdańskim zawsze uczono pisać \(\displaystyle{ i}\) po liczbach (generalnie nam próbowali wmówić że jednostka urojona to \(\displaystyle{ j}\) ale to już inna bajka)

Nie ma znaczenia gdzie znajdzie się jednostka urojona, czy z przodu czy też z tyłu. Mnożenie jest tutaj przemienne.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 25 lis 2013, o 16:27

rtuszyns, istotnie, jednak pomijanie znaku mnożenia jest poprawne tylko jeśli po literach nie następują liczby prawda?
zapis \(\displaystyle{ 2xy}\) jest ok, ale już \(\displaystyle{ x2y}\) nie jest, bo przed liczbą musimy dać mnożenie czyli \(\displaystyle{ x\cdot 2y}\) żeby było poprawnie

Lorek · Post autor: **Lorek** » 25 lis 2013, o 16:36

Gouranga pisze:kerajs, nie wiem na którym uniwersytecie cię tak nauczyli, ale mnie na gdańskim zawsze uczono pisać \(\displaystyle{ i}\) po liczbach (generalnie nam próbowali wmówić że jednostka urojona to \(\displaystyle{ j}\) ale to już inna bajka)

Jak ktoś się bawi prądem to pisze \(\displaystyle{ j}\) żeby mu się z natężeniem nie myliło. A konwencje zapisu bywają różne (ja znam tak z 3-4 możliwości zapisu iloczynu skalarnego) i jeśli są zrozumiałe to nie ma się co kłócić, która jest właściwsza. Dla mnie to obojętne czy to \(\displaystyle{ i2}\) czy \(\displaystyle{ 2i}\).

kerajs · Post autor: **kerajs** » 26 lis 2013, o 23:13

Ale jaja

Miło że inni się wypowiedzieli, bo (odpowiadając Gourandze) liczb zespolonych uczono mnie w pierwszej klasie szkoły średniej więc byłby to żaden atut w ,,licytacji na autorytety' z uczelnią wyższą (z UG włącznie).

Nowinką jest dla mnie sugestia Gourangi dotycząca konieczności pisania znaku iloczynu. Czy ktoś mógłby potwierdzić istnienie takiej reguły i wskazać adekwatną literaturę. Z góry dziękuję.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 26 lis 2013, o 23:27

kerajs, skoro nie trzeba pisać znaku mnożenia to \(\displaystyle{ 23=32=6}\) a wiemy, że tak nie jest

kerajs · Post autor: **kerajs** » 27 lis 2013, o 00:30

Gouranga pisze:kerajs, skoro nie trzeba pisać znaku mnożenia to \(\displaystyle{ 23=32=6}\) a wiemy, że tak nie jest

Te przykłady są nieadekwatne.

Tłumaczenie dla opornych:
Jedyna ,,sugestia Gourangi dotycząca konieczności pisania znaku iloczynu' w tym temacie znajduje się w poście o następującej treści:

Gouranga pisze:rtuszyns, istotnie, jednak pomijanie znaku mnożenia jest poprawne tylko jeśli po literach nie następują liczby prawda?
zapis \(\displaystyle{ 2xy}\) jest ok, ale już \(\displaystyle{ x2y}\) nie jest, bo przed liczbą musimy dać mnożenie czyli \(\displaystyle{ x\cdot 2y}\) żeby było poprawnie

A dokładniej w sformułowaniu: pomijanie znaku mnożenia jest poprawne tylko jeśli po literach nie następują liczby

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 27 lis 2013, o 00:35

nie wiem czy jest to pisana zasada czy niepisana, ale w żadnej książce nie spotkałem się z pomijaniem znaku mnożenia przed liczbami, natomiast pomijanie go przed literami jest powszechne. Byćmoże ma to związek z porządkowaniem wyrażeń algebraicznych które zakłada uporządkowanie mnożenia w kolejności takiej, że najpierw liczba, później litery w porządku alfabetycznym, a jeśli o taki porządek chodzi to taka wskazówka powinna się znaleźć w każdym podręczniku do szkoły podstawowej