Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

[seba0007]

Witam!
Jestem nowym użytkownikiem forum.

Mam mały problem z zadaniem.

Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną :

\(\displaystyle{ Z= (1-\cos \alpha - i \sin \alpha ) ^{2}}\)

Wiem, że zaczynamy od modułu, poźniej zaznaczam na układzie współrzędnych te dwie liczby:część rzeczywistą i urojoną, z tego wyznaczam sin i cos, a poźniej kąt \(\displaystyle{ \varphi}\). Na koniec podstawiam do wzorku na postać tryg.
Prosiłbym o jakieś wskazówki, pomoc, gdyż na zwykłych liczbach radziłem sobię np. \(\displaystyle{ z=2+4i}\) nie miałem żadnego problemu z policzeniem zadania.

Ale najpierw licze to wyrażenie do kwadratu i później rozdzielam na a i b ?

[Chromosom]

Zapisz: \(\displaystyle{ 1-\cos\alpha=a,\ \ -\sin\alpha=b}\).

[seba0007]

Ale najpierw licze to wyrażenie do kwadratu i później rozdzielam na a i b ?

[robertm19]

\(\displaystyle{ 1-\cos x =1-\cos ^2\frac{x}{2}+\sin ^2\frac{x}{2}=\cos ^2\frac{x}{2}+\sin ^2\frac{x}{2}-\cos ^2\frac{x}{2}+\sin ^2\frac{x}{2}=2\sin ^2\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x= 2\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}}\)
Tak popróbuj.

[seba0007]

Więc się pogubiłem, mam nadzieje, że macie jeszcze trochę cierpliwości.
Od czego mam zacząć wyliczenia kwadratu różnicy wyrażeń, bo tam na koncu jest do potęgi drugiej. Czy od razu liczyć moduł.
Przepraszam za moją wiedzę, ale chce się nauczyć tego !

[robertm19]

\(\displaystyle{ 1-\cos x - i \sin x=2\sin ^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2} i}\).
Wyciągnij teraz przed nawias \(\displaystyle{ -i\cdot 2\sin \frac{x}{2}}\)

[seba0007]

Ale skąd w tym wyrażeniu x, skoro w przykładzie jest sin alpha i cos alpha?

[robertm19]

Zastąpiłem przez x bo łatwiej się piszę w latexu

[seba0007]

Robert, wszystko moze i dobrze, ale teraz to ja nie wiem kompletnie, jak sie zabrac za ten przyklad od poczatku.