Witam,
potrzebuję sprawdzić, że zawsze zachodzi poniższa tożsamość
\(\displaystyle{ \sum_{l=i}^{k} \prod_{j \in \{i,i+1,\ldots,k\} \setminus \{l\} } \frac{1}{w_{l}-w_{j}}=0}\),
gdzie,
\(\displaystyle{ w_{1},\ldots,w_{n}}\) są zespolonymi pierwiastkami \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\),
\(\displaystyle{ i,k=1,\ldots n}\) oraz \(\displaystyle{ k>i}\)
Problem udało mi się zwinąć do powyższej postaci, ale nie mam pomysłu dlaczego to się tak ładnie redukuje.
tożsamość dla pierwiastków stopnia n z -1
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 18 lis 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mniuf
- Podziękował: 2 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
tożsamość dla pierwiastków stopnia n z -1
Jest to szczególny przypadek takiego faktu: jeśli \(\displaystyle{ z_1, \ldots, z_n \in \CC}\) są parami różne i \(\displaystyle{ n \ge 2,}\) to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \prod_{ \substack{ j=1 \\ j \neq i} }^n \frac{1}{z_i - z_j} = 0.}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \prod_{ \substack{ j=1 \\ j \neq i} }^n \frac{1}{z_i - z_j} = 0.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 18 lis 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mniuf
- Podziękował: 2 razy
tożsamość dla pierwiastków stopnia n z -1
Wielkie dzięki!
jest może gdzieś dowód lub jakieś raźniejsze uzasadnienie tego faktu?
jest może gdzieś dowód lub jakieś raźniejsze uzasadnienie tego faktu?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
tożsamość dla pierwiastków stopnia n z -1
Załóżmy, że \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz punkty \(\displaystyle{ z_1, \ldots, z_n \in \CC}\) są parami różne.
Niech
\(\displaystyle{ W(z) = \left( z-z_1 \right) \cdot \ldots \cdot \left( z-z_n \right).}\)
Wówczas lewą stronę równości możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \prod_{ \substack{ j=1 \\ j \neq i} }^n \frac{1}{z_i - z_j} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{W'(z_i)}.}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) zero \(\displaystyle{ z_i}\) wielomianu \(\displaystyle{ W}\) jest pojedyncze, zatem
\(\displaystyle{ \frac{1}{W'(z_i)} = \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)},}\)
a więc
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{W'(z_i)} = \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)}.}\)
Zbiór \(\displaystyle{ \{ z_1, \ldots, z_n \}}\) jest ograniczony, więc istnieje takie \(\displaystyle{ r \in \RR,}\) że okrąg
\(\displaystyle{ C(0, r) = \{ z \in \CC : |z| = r \}}\)
obejmuje wszystkie punkty \(\displaystyle{ z_i.}\) Dla każdego \(\displaystyle{ R>r}\) mamy, na mocy twierdzenia o residuach,
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)} = \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ W}\) jest stopnia co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) i jego współczynnik wiodący wynosi \(\displaystyle{ 1,}\) więc istnieje takie \(\displaystyle{ \rho > r,}\) że dla wszystkich takich \(\displaystyle{ z \in \CC,}\) że \(\displaystyle{ |z| \ge \rho,}\) zachodzi
\(\displaystyle{ |W(z)| \ge \frac{1}{2} |z|^n \ge \frac{1}{2} |z|^2.}\)
Stąd, dla \(\displaystyle{ R \ge \rho,}\)
\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z \le 2 \pi R \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} R^2} = \frac{4 \pi}{R}.}\)
Widać więc, że
\(\displaystyle{ \lim_{R \to \infty} \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z = 0,}\)
a z drugiej strony, dla każdego \(\displaystyle{ R \ge r}\) wyrażenie
\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z}\)
ma stałą wartość równą
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)}.}\)
Musi więc być
\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z = 0.}\)
Niech
\(\displaystyle{ W(z) = \left( z-z_1 \right) \cdot \ldots \cdot \left( z-z_n \right).}\)
Wówczas lewą stronę równości możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \prod_{ \substack{ j=1 \\ j \neq i} }^n \frac{1}{z_i - z_j} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{W'(z_i)}.}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) zero \(\displaystyle{ z_i}\) wielomianu \(\displaystyle{ W}\) jest pojedyncze, zatem
\(\displaystyle{ \frac{1}{W'(z_i)} = \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)},}\)
a więc
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{W'(z_i)} = \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)}.}\)
Zbiór \(\displaystyle{ \{ z_1, \ldots, z_n \}}\) jest ograniczony, więc istnieje takie \(\displaystyle{ r \in \RR,}\) że okrąg
\(\displaystyle{ C(0, r) = \{ z \in \CC : |z| = r \}}\)
obejmuje wszystkie punkty \(\displaystyle{ z_i.}\) Dla każdego \(\displaystyle{ R>r}\) mamy, na mocy twierdzenia o residuach,
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)} = \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ W}\) jest stopnia co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) i jego współczynnik wiodący wynosi \(\displaystyle{ 1,}\) więc istnieje takie \(\displaystyle{ \rho > r,}\) że dla wszystkich takich \(\displaystyle{ z \in \CC,}\) że \(\displaystyle{ |z| \ge \rho,}\) zachodzi
\(\displaystyle{ |W(z)| \ge \frac{1}{2} |z|^n \ge \frac{1}{2} |z|^2.}\)
Stąd, dla \(\displaystyle{ R \ge \rho,}\)
\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z \le 2 \pi R \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} R^2} = \frac{4 \pi}{R}.}\)
Widać więc, że
\(\displaystyle{ \lim_{R \to \infty} \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z = 0,}\)
a z drugiej strony, dla każdego \(\displaystyle{ R \ge r}\) wyrażenie
\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z}\)
ma stałą wartość równą
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)}.}\)
Musi więc być
\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z = 0.}\)