tożsamość dla pierwiastków stopnia n z -1

[bialy_labadz]

Witam,

potrzebuję sprawdzić, że zawsze zachodzi poniższa tożsamość

\(\displaystyle{ \sum_{l=i}^{k} \prod_{j \in \{i,i+1,\ldots,k\} \setminus \{l\} } \frac{1}{w_{l}-w_{j}}=0}\),

gdzie,

\(\displaystyle{ w_{1},\ldots,w_{n}}\) są zespolonymi pierwiastkami \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\),
\(\displaystyle{ i,k=1,\ldots n}\) oraz \(\displaystyle{ k>i}\)

Problem udało mi się zwinąć do powyższej postaci, ale nie mam pomysłu dlaczego to się tak ładnie redukuje.

[Dasio11]

Jest to szczególny przypadek takiego faktu: jeśli \(\displaystyle{ z_1, \ldots, z_n \in \CC}\) są parami różne i \(\displaystyle{ n \ge 2,}\) to

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \prod_{ \substack{ j=1 \\ j \neq i} }^n \frac{1}{z_i - z_j} = 0.}\)

[bialy_labadz]

Wielkie dzięki!
jest może gdzieś dowód lub jakieś raźniejsze uzasadnienie tego faktu?

[Dasio11]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz punkty \(\displaystyle{ z_1, \ldots, z_n \in \CC}\) są parami różne.
Niech

\(\displaystyle{ W(z) = \left( z-z_1 \right) \cdot \ldots \cdot \left( z-z_n \right).}\)

Wówczas lewą stronę równości możemy zapisać jako

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \prod_{ \substack{ j=1 \\ j \neq i} }^n \frac{1}{z_i - z_j} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{W'(z_i)}.}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) zero \(\displaystyle{ z_i}\) wielomianu \(\displaystyle{ W}\) jest pojedyncze, zatem

\(\displaystyle{ \frac{1}{W'(z_i)} = \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)},}\)

a więc

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{W'(z_i)} = \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)}.}\)

Zbiór \(\displaystyle{ \{ z_1, \ldots, z_n \}}\) jest ograniczony, więc istnieje takie \(\displaystyle{ r \in \RR,}\) że okrąg

\(\displaystyle{ C(0, r) = \{ z \in \CC : |z| = r \}}\)

obejmuje wszystkie punkty \(\displaystyle{ z_i.}\) Dla każdego \(\displaystyle{ R>r}\) mamy, na mocy twierdzenia o residuach,

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)} = \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ W}\) jest stopnia co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) i jego współczynnik wiodący wynosi \(\displaystyle{ 1,}\) więc istnieje takie \(\displaystyle{ \rho > r,}\) że dla wszystkich takich \(\displaystyle{ z \in \CC,}\) że \(\displaystyle{ |z| \ge \rho,}\) zachodzi

\(\displaystyle{ |W(z)| \ge \frac{1}{2} |z|^n \ge \frac{1}{2} |z|^2.}\)

Stąd, dla \(\displaystyle{ R \ge \rho,}\)

\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z \le 2 \pi R \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} R^2} = \frac{4 \pi}{R}.}\)

Widać więc, że

\(\displaystyle{ \lim_{R \to \infty} \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z = 0,}\)

a z drugiej strony, dla każdego \(\displaystyle{ R \ge r}\) wyrażenie

\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z}\)

ma stałą wartość równą

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \mathrm{res}_{z=z_i} \frac{1}{W(z)}.}\)

Musi więc być

\(\displaystyle{ \int \limits_{C(0, R)} \frac{1}{W(z)} \mathrm{d} z = 0.}\)