Równanie zespolone

[banita 17]

Cześć. Mam takie równanie zespolone:
x = liczba sprzeżona do z, wybaczcie ale nie znalazłem tutaj symbolu sprzężenia.
\(\displaystyle{ z \cdot \overline{z} + z - \overline{z} = 3+2i}\)

Według moich obliczeń powinno wyjść:

\(\displaystyle{ z _{1}= \sqrt{2} + i\\
\\
z _{2}= - \sqrt{2} + i}\)

Jednak w odpowiedzi jest coś innego. Szukam błędu i nie mogę go znaleźć. Mógłby ktoś to sprawdzić? Byłbym wdzięczny.

[rtuszyns]

Niech \(\displaystyle{ z=a+ib}\) oraz mamy, że \(\displaystyle{ \overline{z}=a-ib}\).
Teraz więc możemy napisać:

\(\displaystyle{ (a+ib)(a-ib)+a+ib-a+ib=3+2i}\)

i dalej mamy

\(\displaystyle{ a^2-i^2 b^2+2ib=3+2i}\).

Powyższa równość upraszcza się do równości

\(\displaystyle{ a^2+b^2+2ib=3+2i}\).

Dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \Re z_1=\Re z_2}\) i \(\displaystyle{ \Im z_1=\Im z_2}\). Zatem w naszym przypadku mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=3 \\ 2b=2 \end{cases}}\).

Stąd łatwo obliczamy \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=\sqrt{2} \\ b=1 \end{cases}\\ \vee \\
\begin{cases} a=-\sqrt{2} \\ b=1 \end{cases}}\)

Zatem mamy ostatecznie rozwiązania:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{2}+i\,\,\vee \,\, z=-\sqrt{2}+i}\)

[banita 17]

Bardzo dziękuję za odpowiedź i przepraszam za tego Latexa, ale rzadko się nim posługuję i nie znam go za dobrze.

Wychodzi na to, że gdzieś w odpowiedzi musi być błąd. Jeszcze raz dziękuję.

[Qń]

Minimalnie szybciej do tego samego wyniku można dojść zauważając, że równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ |z|^2 + 2iImz = 3+2i}\)
skąd
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ Im z =1}\)

Q.