Interpretacja geometryczna modułu róznicy

[Zuza1337]

Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:


\(\displaystyle{ \left| z^{2}+2iz-1 \right|< 9}\)

Proszę o szczegółowe rozwiązanie wraz z rysunkiem. Pozdrawiam serdecznie.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ z^2+2\text iz-1=z^2-2\text iz+\text i^2}\)

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ |z^2 +2iz -1| =|(z+i )^2 | =|z+i |^2}\)

[Zuza1337]

A mogłabym zrobić tak?

\(\displaystyle{ \Delta = 4i^{2} +4 = 0}\)
\(\displaystyle{ z_{0} = -i}\)
\(\displaystyle{ r=9}\)

[Chromosom]

W ten sposób obliczono by, kiedy wyrażenie po prawej stronie jest równe 0. Pomijając fakt, że lepiej jest tego dokonać na podstawie wzoru skróconego mnożenia, informacja na ten temat jest zbędna. Kolejnym krokiem jest zapisanie \(\displaystyle{ z=a+b\text i}\) i skorzystanie z definicji modułu.

[Zuza1337]

Czyli tak, jak brzoskwinka napisała. I tak wychodzi \(\displaystyle{ z_{0}\) równe -i.
I rozwiązanie na rysunku takie, jakie ja narysowałam. Zgadza się?

[Chromosom]

Środek koła jest wyznaczony poprawnie. Zastanów się nad jego promieniem oraz punktami przecięcia z osiami.

[Zuza1337]

Czyżby \(\displaystyle{ r=3}\)? ;>

[Chromosom]

Zgadza się, teraz jest dobrze. Wyznacz jeszcze punkty przecięcia z osiami.

[Zuza1337]

Przecięcie z osią \(\displaystyle{ Im}\) w punktach: \(\displaystyle{ 2i}\) oraz \(\displaystyle{ -4i}\). Right?

[Chromosom]

Zgadza się. Spróbuj teraz narysować ten okrąg.

[Zuza1337]

Tak?

[Chromosom]

Zgadza się, teraz jest dobrze.