Pochodna zespolona

[Drzewo18]

Mam policzyć pochodną \(\displaystyle{ f(x+iy)=\sqrt{|xy|}}\) w punkcie 0.

\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=}\) i co mam podstawić za h, skoro to funkcja dwóch zmiennych?

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ h=h_1 + i h_2 ,}\) gdzie \(\displaystyle{ h_1 ,h_2 \in\mathbb{R} .}\)

[Drzewo18]

Czyli
\(\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)} \frac{f(0+h_1, 0+h_2)-f(0,0)}{(h_1,h_2)}=\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0)} \frac{|h_1,h_2|-|0,0|}{(h_1,h_2)}}\)
I co teraz?

[Kartezjusz]

Uwaga \(\displaystyle{ f}\) to inna funkcja.

[Drzewo18]

No dobra, zapomniałem pierwiastka. Ale co zrobić z mianownikiem?

[Kartezjusz]

Zapisz jaka będzie jego norma. Na dole powinna być norma.

[Dasio11]

Raczej nie. Skoro liczymy pochodną z funkcji zespolonej

\(\displaystyle{ f(x+y \mathrm i) = \sqrt{ |xy| },}\)

to chyba liczymy granicę

\(\displaystyle{ \lim_{(h_1, h_2) \to (0, 0)} \frac{ f(h_1+h_2 \mathrm i) - f(0) }{h_1+h_2 \mathrm i}.}\)