Interpretacja geometryczna

[Drzewo18]

Podać interpretację geometryczną przekształceń \(\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}}\) danych wzorem (\(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{C}}\))
a) \(\displaystyle{ f(z)=b}\)

Czyli mam to rozumieć jako \(\displaystyle{ b=x+yi}\) i rysuję na wykresie funkcję \(\displaystyle{ x=-yi}\). czy jeszcze inaczej?

[Kartezjusz]

Jakim typem wyrażenia jest \(\displaystyle{ f(z)=b}\), co powiesz. Na początek rzucaj.

[Drzewo18]

Dla mnie to jest funkcja stała, no ale jak jest w zadaniu, że \(\displaystyle{ b\in\mathbb{C}}\), to chyba musi być \(\displaystyle{ b=x+yi}\).

[Kartezjusz]

Tak, czy czym \(\displaystyle{ x,y \in R}\). Ile elementów ma obraz.

[Drzewo18]

Czyli zaznaczam punkt (xy), x na osi rzeczywistej, a y na urojonej?

[robertm19]

Czyli zaznaczam punkt (xy), x na osi rzeczywistej, a y na urojonej?

Tak, to jest funkcja której obraz jest tylko punkt b.

[Kartezjusz]

To co wiesz o takich transformacjach.

[Drzewo18]

A gdyby było \(\displaystyle{ f(z)=az}\)?
To wtedy \(\displaystyle{ a=x+yi, z=k+li}\) i \(\displaystyle{ f(z)=(x+yi)(k+li)=(xk-yl)+(xl+yk)i}\)
I jak takie coś narysować?

[Dasio11]

Podać interpretację geometryczną przekształceń \(\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}}\) danych wzorem (\(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{C}}\))
a) \(\displaystyle{ f(z)=b}\)

Według mnie, chodziło o funkcję zadaną wzorem

\(\displaystyle{ f(a+b \mathrm i) = b,}\)

czyli funkcję, która liczbie zespolonej przypisuje jej część urojoną.

W kolejnym przykładzie:

\(\displaystyle{ f(z) = az}\)

warto najpierw przedstawić \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ z}\) w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ a = |a| \cdot \left( \cos \alpha + \mathrm i \sin \alpha \right) \\
z = |z| \cdot \left( \cos \zeta + \mathrm i \sin \zeta \right),}\)

a następnie skorzystać z tożsamości

\(\displaystyle{ |u| \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right) \cdot |v| \left( \cos \psi + \mathrm i \sin \psi \right) = |uv| \left( \cos (\varphi + \psi) + \mathrm i \sin (\varphi + \psi) \right),}\)

aby wywnioskować, że

\(\displaystyle{ f \bigl( |z| \left( \cos \zeta + \mathrm i \sin \zeta \right) \bigr) = f(z) = az = |az| \left( \cos (\alpha + \zeta) + \mathrm i \sin (\alpha + \zeta) \right).}\)

To oznacza, że liczbie \(\displaystyle{ z}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) mnoży moduł przez \(\displaystyle{ |a|}\) oraz do jej kąta dodaje \(\displaystyle{ \alpha.}\)
W języku geometrii, \(\displaystyle{ f}\) to jednokładność o środku \(\displaystyle{ 0}\) i skali \(\displaystyle{ |a|}\) złożona z obrotem wokół \(\displaystyle{ 0}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha.}\)