Działania na liczbach zespolonych

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 08:23

1. Obliczyć i zapisać w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej, wykładniczej

\(\displaystyle{ (cos^{2011 \pi i}) \frac{(cos \frac{ \pi }{4}-isin \frac{ \pi }{4})^{10} }{(1- \sqrt{3}i)^{6} }}\)

2. Obliczyć oraz podać interpretację geometryczną:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(isin \frac{ \pi }{3}-cos \frac{ \pi }{3})^{3} }}\)

3. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ z^{2}-2iz-1=0}\)

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 08:37

1. Przejdź na postać wykładniczą z każdą liczbą.
2.Co robią pierwiastkowanie i potęgowanie ze zbiorem?
3.Liczysz jak dla rzeczywistych.

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 08:50

No w zad. 2 to będzie tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(isin \frac{ \pi }{3}-cos \frac{ \pi }{3})^{3} }}\) = \(\displaystyle{ isin \frac{ \pi }{3}-cos \frac{ \pi }{3}}\)

I co dalej, jak podać interpretację geometryczną? Trzeba to jeszcze policzyć?

Mógłbyś zad. 1 rozwiązać, bo nie wiem jak przejść do tej postaci wykładniczej? Będę wdzięczny.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 08:57

Postać wykładnicza to \(\displaystyle{ z=|z|e^{iArg(z)}}\)

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 09:13

w zad. 3 będzie tak?:\(\displaystyle{ z^{2}-2iz-1=z^{2}-2iz+i^{2}=(z-i)^{2}=0 \Rightarrow z=i}\)

Powiedz mi jak będzie zad3. tak jak napisałem i co dalej?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 09:15

Kapitalnie:). Masz pierwiasdtek podwójny.

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 09:35

Czyli zad.3 dobrze? A co z drugim?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 09:36

Użyj wzoru De moivre'a, bo tak fajnie te operacje w liczbach zespolonych się nie znoszą jak w rzeczywistych.

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 10:16

Ale wzór De moivre'a do którego zadania?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 10:30

Do zadania drugiego co nam zostało:)

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 10:39

Czyli zad.3 jest dobrze?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 10:47

Tak, jak najbadziej

-- 13 listopada 2013, 13:23 --

Korzystamy najpierw ze wzoru De Moivre'a \(\displaystyle{ z^{n}= |z|^{n} (\cos n Arg(z) _i \sin n Arg(z))}\)
a,że liczby masz w postaci trygonometrycznej to masz fuksa, potem dla liczby którą otrzymasz skorzystaj ze wzoru na pierwiastek zespolony.

rambus · Post autor: **rambus** » 13 lis 2013, o 13:37

To wyszło mi \(\displaystyle{ z^{3}=-cos5 \pi +isin5 \pi \Rightarrow 0?}\) I co dalej?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 14:05

Skąd piątka?